论文总字数：8671字

摘 要

关键词：反证法，假设，矛盾，结论，命题

Abstract：Mathematical proposition that is divided into direct method and indirect method, the high school is the most common method of indirect proof is reductio ad absurdum. This paper mainly introduces the reduction to absurdity essence, origin, definition, process, the theory foundation and reduction to absurdity in middle school mathematics in all aspects of the application.

Keywords：apagoge,assumption,contradiction,conclusion,proposition

目 录

1. 引言 4

2. 关于反证法的基础知识 4

2.1 反证法的实质 4

2.2反证法的来源 5

2.2.1古希腊的反证法 5

2.2.2中国古代数学的反证法 5

3.反证法的定义、步骤和理论依据 6

3.1反证法的定义 6

3.2 反证法的步骤 6

3.3反证法的理论依据 6

4.反证法适用的命题 7

4.1基本命题或初始命题 7

4.2存在性命题 7

4.3唯一性命题 8

4.4无限性命题（无穷性命题） 8

4.5否定性命题 8

4.6肯定性命题 9

4.7一些不等量命题 10

5.反证法在中学数学中的应用 10

5.1反证法在平面几何中的应用（思维策略） 10

5.2反证法在概率中的应用 12

1. 运用反证法解题时需要注意的问题 13

结论...........................................................................................................................................................................14

参考文献...................................................................................................................................................................15

1. 引言

数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的一门科学.反证法是数学帝国版图中重要的一块.反证法不仅在初等数学中有着广泛的应用,并且在高等数学中也具有很高的作用.数学中的一些重要结论,从最基本的一些定理、性质,到一些难度很大的世界性命题,很多都是用反证法证明的^[1].

反证法是一种重要的数学方法,在证明命题时具有很多优势,面对繁多的命题,有的直接证明方法复杂困难,但间接证明方法却很容易.

随着社会对教育的关注,中、高考成为中学生展现实力的平台,而数学在这个平台上起着非常重要的作用,数学教育越来越受到重视.我选择了反证法在中学数学中的应用这个论文方向,希望能够通过对反证法在中学数学的中的应用的研究,使中学生能够更加清楚地认识、了解、运用反证法这种出色的证明方法,有助于培养中学生逆向思维,提高观察力、思维能力、辨别能力.希望能够对广大中学生有所帮助.

2. 关于反证法的基础知识

2.1 反证法的实质

反证法（又称背理法）,是一种间接论证方式,它首先在原命题的题设下假设结论不成立,然后通过一系列的推理,推理出明显矛盾的结果,从而下结论说假设不成立,原命题得证.反证法与归谬法相仿,但是归谬法推理出矛盾的结果往往是一些不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果.

反证法是“间接证明法”一种,是从反方向证明的证明方法,它通过肯定题设而否定结论,经过推理导出矛盾,从而证明原命题.法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”^[2].具体地讲,反证法就是从原命题的结论的否定开始,之后命题结论的否定当作已知条件,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、公理、定理等矛盾的结论,肯定了原命题的结论,最后使原命题获得了证明.

2.2反证法的来源

2.2.1古希腊的反证法

希腊人十分重视数学的演绎和证明,极大的促进了形式逻辑的发展.推动了形式逻辑以及反对数学在实践中的应用,对数学的发展具有深远的影响^[3].大学者柏拉图更是提出数学应从自明的绝对假设开始,通过系列的逻辑推论,从而得出符合要求的结论.其弟子亚里士多德青出于蓝而胜于蓝,继承和发展柏拉图的理论,进一步将形式逻辑应用于数学.他先承认通则(公设) ,认为数学的证明只是把原有道理画出来,问题就可以解决了.之后欧几里得集前人思想和个人创造性,编著了《几何原本》这部不朽之作.书中将人们公认的一些事实列成定义和公理,以形式逻辑的方法,用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质,从而建立了一套从公理、定义出发,论证命题得到定理的几何学论证方法,形成了一个严密的逻辑体系——几何学.而这本书,也就成了欧式几何的奠基之作.整部书的内容安排上,贯彻了欧几里得独具匠心的安排.它由浅到深,从简至繁,先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容.其中有关穷竭法的讨论,提到了归谬法即反证法.所以希腊人早在公元前300年就开始使用反证法了.

2.2.2中国古代数学的反证法

墨子曾说过：“学之益也,说在诽者.”墨子从逻辑学分析：若以“学习并无益处”为真,那必须有教授才能学习,教是因,学是果,两者互相关联,但没理由只教授有益,而学习无益,但老子却向大众授以“学无益”的说法,令大众得以学习“学习并无益处”,和“学无益”说法自相矛盾,故“学无益”必属悖论.“非诽”也大有问题,关键在“非”处.“不应驳斥他人”本身这句话,就是在驳斥“驳斥他人”之人,自相矛盾,因而推论“驳斥”,本身是不可驳斥的^[4].墨子的这段言论可以说得上是反证法的一个美妙的特例.

刘徽在为《九章算术》作注释时也多次采用了归谬论证法,但多用反驳.没有摆脱中国古算追求实际的传统影响^[5].

3.反证法的定义、步骤和理论依据

3.1反证法的定义

在证明一个命题时,先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、公理、定理等矛盾的结论,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.

3.2 反证法的步骤

（1）反设：作出与求证的结论相反的假定.

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