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摘 要

洛必达法则是数学分析中求解不定式极限的一个非常重要的方法.本文首先对洛必达法则进行初步分析，并结合例题说明.其次，探讨了洛必达法则在求不定式极限方面的使用技巧. 同时，通过例题说明如何在使用洛必达法则时能够使求不定式极限变得得更加方便快捷.最后阐明洛必达法则使用时的注意事项，并通过例题展示使用洛必达发法则时容易发生的错误，表明洛必达法则在极限计算中的重要作用.

关键词：洛必达法则，高等数学，未定式，极限

Abstract: The L"Hospital Rule is a very crucial approach solving the limit of indeterminate in advanced mathematics. In this thesis, we first illustrate the L"Hospital Rule with various examples. Then, the techniques of using this rule to solve the limit of indeterminate are covered. We also try to explain how to apply the L"Hospital Rule to solve the limit of indeterminate in the most efficient ways, also with the help of various examples, as well as the important tips of using it. Last but not least, in actual practice, the possible faults that are likely to be made by learners when using the rule are also discussed via some examples, to indicate the importance of using this rule correctly in limit analysis.

Keywords：L"Hospital Rule, advanced mathematics, uncertain type, limit

目 录

1 引言 4

2 洛必达法则基本定理 4

3 利用洛必达法则计算不定式极限 4

3.1 两种基本类型的不定式极限 4

3.2 其他类型的不定式极限 6

4 洛必达法则的使用技巧 8

4.1 等价无穷小的替换 8

4.2 先进行化简，再使用洛必达法则 9

4.3 先做变量代换，再使用洛必达法则 10

4.4 利用三角函数关系式进行转化 11

5 使用洛比达法则时的注意事项 12

5.1 不顾形式乱用洛比达法则 12

5.2 使用洛比达法则后出现循环现象 13

5.3 使用洛比达法则后出现极限不存在现象 14

结 论 16

参考文献 17

致 谢 18

1 引言

洛必达法则是求解不定式极限中一个非常重要的工具，所以掌握洛必达法则是很有必要的.洛必达法则在求解极限时有很多的使用技巧，但也有需要注意的地方.本文将对这些使用技巧和注意事项进行阐述，并通过一些例题进行了分析.

2 洛必达法则基本定理

定理 若函数和满足

1);

2)在点的某空心邻域内两者都可导，且;

3)(可以为实数，也可以为，);

则

.

注意 将换成 ， ， ， ，只要能够修改条件2)中的邻域，也可以得到相同的结论.

定理 若函数和满足

1. ;
2. 在的某右邻域内两者都可导，且;
3. (可以为实数，也可以为，);

则

.

注意 上述结论对于 ， 或 ，等情形也成立.

3 利用洛必达法则计算不定式极限

3.1 两种基本类型的不定式极限

我们在学习数学分析之后，掌握了一些求不定式极限的方法，今天我们主要讨论如何利用洛必达法则计算不定式极限，我们首先要了解洛必达法则的两种基本不定式类型，下面通过例题来具体说明.

例1.

解 由于，且，并在点的邻域内两者都可导，且 ，又，

故

.

注: 若仍是型不定式极限，并且符合条件，我们是否能够再次使用洛必达法则呢，则我们需要观察极限是否存在，并且这时候的和在的某邻域内必须可导且.

例2 求.

解 利用，得，并且由于， ，同时 和在点的邻域内可导且，又由于

，

则 .

注: 本题满足洛必达法则的使用条件，但是对分子分母同时求导，分母会变得复杂，若利用当时， 则可以将题目变得简化.

例3 求.

解 由上述条件，有

.

例4 求.

解 由上述条件，有

.

注意 若不存在，并不能说明不存在.

总结 这两种不定式类型求极限的题目是比较简单，直接套用洛必达法则公式就可以得出结果.而接下来我们就要接触其它类型的不定式他们一般可以化为我们常见的两种基本类型，但是它们的本质还是一样的.

3.2 其他类型的不定式极限

不定式极限还有，，，，等类型.若经过简单变形，它们一般均可化为型或型的极限，比如.下面我们就从题目出发，进行讨论.

例5 求.

解 这是一个型不定式极限，用恒等变形将它转化为型的不定式极限，得

.

例6 求.

解 这是一个型不定式极限，作恒等变形，其指数部分的极限是型不定式极限，可先求得，

得到

.

例7 求.

解 这是一个型不定式极限，通过恒等变形，指数部分的极限是型不定式极限，可以得到

，

从而得到

.

例8 求.

解 这是一个型不定式极限，通过恒等变形，其指数部分的极限为

，

于是有

.

例9 求.

解 这是一个型不定式极限，通过通分后化为型的极限，即

故

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