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摘 要

本文提出了具有Leslie-Gower-Holling-II型反映和多个白噪声干扰的捕食者-食模型，并研究了模型全局正解的存在唯一性，建立了模型持续生存和灭绝的充分条件，揭示了白噪声干扰对物种生存和灭绝的影响.

关键词：白噪声，存在性，唯一性，持久性，灭绝性

Abstract：In this thesis, we propose a predator-prey model with modified Leslie-Gower and Holling type II schemes and several stochastic perturbations. We show there is a unique global positive solution to the system for any positive initial value, and establish the sufficient conditions for persistence and extinction of the model. Our results reveal the effect of stochastic perturbations on the persistence and extinction of the model.

Keywords：Ito"s formula, persistent in mean, globally stable in time average, extinction

目 录

1 引言…………………………………………………………………………5

2 正解的存在性与唯一性……………………………………………………8

3 系统的持久性………………………………………………………………10

4 系统的灭绝性………………………………………………………………17

结论……………………………………………………………………………20

参考文献………………………………………………………………………21

致谢……………………………………………………………………………23

1 引言

捕食者与食饵的动态关系在生物数学的研究中一直占有很重要的位置。有许多因素影响捕食者与食饵的动态关系，其中为大家熟知的是一些用函数表示的功能反映函数. 近来具有功能性反映的捕食者与食饵模型受到了许多应用数学家和生物学家的关注. 具有功能性反映的捕食者与食饵模型常用以下方程组表示：

这里，，分别表示捕食者和食饵的种族密度；和c都是正常数，它们分别表示食饵的內禀增长率、死亡率、捕食者转化率；表示捕食者对物种的功能性反映函数. 的表达式包括（Holling I-型）、（Holling II-型）、（Holling III-型）、（, Holling IV-型）, 或其他的一些等价形式^[1]. 事实上，具有Holling II-型功能性反映的捕食者-食模型已经被许多学者研究过^[2~6]. 另外，考虑到捕食者和食饵彼此之间的干扰冲突也是影响种族动态的一个因素，Leslie ^[7]建立了一个捕食者的环境承载能力与食饵的数量成正比的捕食者-食模型，并且该模型已被Leslie和Gower ^[8]以及Pielou ^[9]研究过：

，

这里是食饵变成捕食者的转化因子，衡量环境容纳量，且与食饵数目成正比. 称为是Leslie-Gower 项, 衡量由于所偏爱食物数量的减少而导致捕食者数量的减少. 由于食饵数量的严重稀缺，捕食者y可以转化成其他的角色，例如变成食饵，则它的增长将会被限制，因为我们不能忽视这样的一个事实，当它们偏爱的食物并不充裕时，一个正常量应该被加入到分母中。这样，上面的等式将会变成以下形式：

.

因此有

.

最近，文献^[10~12]提出并研究了如下的具有修改的Leslie-Gower和Holling-type II型功能性反映的随机捕食者—食饵系统：

（1.2）

其中初值条件为，. 这里，分别代表时刻的种族密度，参数和都是正数. 代表食饵的增长率，是种内密度制约系数，是食饵减少率的最大值，和是测量环境对食饵和捕食者各自提供保护的程度，是捕食者的增长率，和有相似的意义. 文献^[10~12]研究了模型（1.2）的正平衡点的有界性和全局稳定性. 近些年来，模型（1.2）受到了学者们的广泛关注，例如，文献^[13]在系统（1.2）的基础上引入了时滞，并研究了系统正平衡点的全局稳定性.

但是，自然界中种群的变化不可避免地受到白噪声的影响，而确定性模型假设模型中的参数都是确定的，和环境的波动无关. 因此在生态系统的数学模型中，确定性模型有一定的局限性, 且不能与实际数据相吻合，也难以准确预测系统未来的动态^[14]. 实际上，由于环境的波动，种群模型中的出生率、死亡率、竞争系数以及其它参数应该呈现出随机的波动^[15]，使得种群的平衡分布围绕在均值附近随机波动。因此，许多学者在确定性模型的基础上引入随机干扰，进而揭示环境变化对种群模型的影响. 在这一领域莱文^[16]做出了许多开拓性的工作，他首次考虑了自治的Lotka-Volterra随机捕食者-食系统，证明了扩散能使系统不稳定. 另外Freedman和Walkman^[17]以及Arnold、Horsthemke和Stucki ^[18]考虑了具有随机干扰的Lotka-Volterra模型, 该领域更多的参考文献参见^[19~23].

考虑到环境中的随机干扰，假设环境中的干扰将会影响到食饵和捕食者的增长率：

， ，

其中是相互独立的布朗运动， 和代表若干白噪声的强度. 另外，假设, 则我们得到如下随机模型：

(1.3)

在确定性种群模型的研究中，模型的正平衡点及其稳定系是最优意思的问题之一. 系统（1.2）有三个平凡的平衡点

， ， ，

如果满足以下条件，则有一个内部平衡点，，

. （1.4）

特别地，若, 则，. 此时条件（1.4）简化为

. （1.5）

然而对于随机系统（1.3），其没有正平衡点. 在本文中我们将探索在时间平均意义下系统的稳定性.我们将会证明，若，且，则系统依时间平均稳定，且食饵种群、Leslie-Gower项在时间平均意义下是全局稳定的，即

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