论文总字数：6485字

摘 要

关键词：对称思想，几何，代数，方程组

Abstract:Symmetry thought embodies the union of number and shape. In this paper,we analyse how to change complexity to simpleness and improve the efficiency of solving problems from 

two aspects of geometry and algebra. 

Keywords: symmetry thought, geometry, algebra, equations 

目录

1 前言 3

2 预备知识 3

3 对称思想在数学中的应用 4

3.1 对称思想在几何中的应用 4

3.1.1 点对称（中心对称） 4

3.1.2 线对称（轴对称） 5

3.1.3 平面对称 6

3．2 对称思想在代数中的应用 7

3.2.1 利用对称思想求值 7

3.2.2 利用对称思想解方程和方程组 8

3.2.3 利用对称思想求函数解析式 10

结论 12

参考文献 13

1 前言

对称是一种融合了图形、数与式的重要思想，求解数学问题时，从杂乱无章的题目中，发现规律，应用对称的思想方法探究问题求解的方案，往往能事半功倍，因此，许多国内外数学家都肯定了对称思想的重要地位.美国著名数学家波利亚(U.polya)认为:一个整体若有可互换的诸部分就称为对称，我们要尝试对称地处理对称的东西，而不要随便破坏任何自然对称性.如果一个问题以某种方式对称，则我们注意其可互换部分常会得到某种好处^[1].在中学数学的解题中，我们要学会转变思维方向，运用熟悉的方法解决问题，本文主要是对对称思想在解题中的应用进行探究.

2 预备知识

“对称”一词起源于希腊语，原义为“和谐”、“美观”，泛指物体的部分与部分、以及部分与整体间的位置的般配与和谐.数学家外尔（H．Weyl）在讨论艺术作品中的对称性时，提到西方艺术像其生活一样，倾向于缓解、放宽、修正，甚至打破严格的对称性，接着有一名句：“但是不对称很少是仅仅由于对称的不存在.”

对称的概念在日常生活中可谓司空见惯，蝴蝶的翅膀、窗花、地板砖，这些都是对称.如果我们把讨论的范围限制在数学中，众所周知，对称的定义用集合语言刻画如下:设给定一集合，在其内考虑元素间的某些关系，并设是的一个子集，对于的一个可容许变换，若变换A把集合P中的每一点仍变为P的点，称集合是对称的或不变的.

为了方便读者阅读，我们列举了以下定义.

定义1^[2] 一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心.

定义2^[3] 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.

定义3 ^[4] 如果两图形上的点一一对应，对应点的连线被某一平面垂直平分，那么称这两图形关于这个平面成平面对称.该平面称为对称平面.

3 对称思想在数学中的应用

对称在不同领域有不同的应用. 例如对称应用于工程学，可以是飞机左右对称的设计，或者是建筑物对称的设计，这些都是对称出于纯粹审美观点的考虑，在艺术中的应用，然而我们要探讨的是对称在数学领域的应用.

数学是一门博大精深的学科，它需要严谨的态度. 如果把数学比作海洋，那么我所学到的知识仅仅是大海中的一粒砂石. 我将基于自身认知，浅要分析对称思想在几何和代数两个大方面的应用.

3.1 对称思想在几何中的应用

对称是指图形的一种性质或指两个合同图形间的一种特殊位置关系，有点对称(中心对称)、线对称(轴对称)、平面对称三种^[5].

通过学习对称在几何中的应用，从图像出发，分析图形中的对称思想，体会数形结合的思想方法，有助于快速解决问题.

3.1.1 点对称（中心对称）

中心对称在数学中有着广泛应用，我们将从简单例题入手，浅要谈一谈中心对称是如何体现的.

例1 如图，现有一中心对称图形，为对称中心，若，求的长为多少？

简析 根据中心对称图形的性质可以得到，根据已知条件，含30°角的直角三角形的性质可得，在直角中，根据勾股定理即可求出的长，从而得到结果.
解 因为此图是中心对称图形，所以

，

即

在直角△ABC中，因为，所以

，

又因为

，

解得

，

故

.

在实际解题中，利用中心对称的思想可以得到图形之间的全等关系，通过图形的全等关系得出等式，从而有效解决问题.

3.1.2 线对称（轴对称）

数学是一门实用的科学，而轴对称恰恰是数学在生活中应用最广的方面，我们将数学和实际紧密联系，从实用性角度给出以下例题.

例2 在公路同侧有两个居民小区、，如图，现需要在公路旁建一个发电站，要求到、的距离之和最短，这个发电站应建在哪一个地方?

简析 假设发电站用点表示，那么我们现在的问题就转换为如何使得与的距离之和最短，联想以前学过的“两点间线段最短”，在的延长线上找一个点，如果有，那么，根据轴对称的性质可以知道点在的垂直平分线上，也就是点在的对称轴上.根据这个思路我们即可求解该题.

解 作点关于直线的对称点，连接点和点，交直线于一点，点即为所求发电站位置.

本题中利用轴对称的知识可以在直线L上找到唯一的点，使得点到点与点两点的距离之和最小，建立了“运用轴对称思想解决距离之和最小”的数学模型，即“轴对称数学模型”.在数学学习中，很多题目都需要我们建立数学模型.建立数学模型，首先要对数学应用题的己知条件进行分析，如果用己知条件代入现成数学公式或定理等数学模型就可直接求解的，如果不能直接求解的，就需要先确定题中所需的数学模型，求出数学模型中所需要的数学量，之后再运用数学模型.

3.1.3 平面对称

空间问题是数学的一个重要分支，而解决这一问题的关键就在于对称思想，学习平面对称有关知识可以帮助我们有效解决空间难题.

例3 求点关于平面的对称点.

简析 这一道题直截了当告诉我们要求点关于平面的对称点，根据平面对称的定义可以知道，要求的点必定和点在同一直线上，并且这一条直线一定与平面垂直，在求解这一类问题时，我们可以先求出过点(1，-2，3)且垂直于平面的直线方程，然后求出该直线与平面的交点，通过方程变形后得到的代数表达式，将表达式代入平面方程，得到直线与平面的交点，最后根据点对称的性质即可求得点关于平面的对称点.

解 过点且垂直于平面的直线方程为

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