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摘 要

行列式是研究许多学科的重要工具，其计算是经常遇到的问题,因此研究行列式的计算是十分必要的. 同时，研究行列式的计算对于启发数学思维，解决数学问题具有很大的帮助.本文以行列式为研究对象，首先给出了行列式的定义，其次探讨了行列式的主要性质，运用行列式的性质对行列式的解法进行了研究，介绍了几种特殊而且行之有效的行列式的计算方法.

关键词：行列式，加边法，降阶法，范德蒙德行列式，递推法，分离线性因子法

Abstract：Determinant is an important tool in the researching of many subjects, and the calculation is often encountered. Therefore, it is necessary to study the determinant calculation, At the same time, the investigation of calculation determinant is of great help to inspirate mathematical thinking and to solve mathematical problems. This thsis studies the determinant. We first give the difinition of determinant, and then dicusses the main properties of determinant. We investigate the solving methods of determinant by using the properties of determinant, and introduces several special and effective calculation methods to calculate determinant.

Keywords: determinant, dordered determinant, reduction method, Vandemeng determinant, recursive method, linear separation factor method

目 录

1 引言 3

2 行列式的定义和性质 3

3 行列式的计算 4

3.1 利用行列式定义直接计算 4

3.2 化为三角行列式 4

3.3 加边法（又称升阶法） 6

3.4 降阶法按行（列）展开法 7

3.5 递推法 9

3.6 利用范德蒙德行列式 11

3.7 数学归纳法 13

3.8 分离线性因子 15

结 论 17

参考文献 18

致 谢 19

1 引言

由于行列式在高等代数中的重要性以及在今后研究中的重要地位，因此我们有必要对行列式进行深入的认识.对行列式研究发现它的两个基本特征：当行列式是一个三角行列式时计算将非常简单，故将行列式通过基本性质转化成三角行列式是基本解题思想；行列式的另一个基本特征是它的递归性，即通过基本性质对行列式降阶从而发现它的基本规律，即递推法.这两个方法可以一起使用，而加边法，降阶法，数学归纳法，因式分解法则是以上两种方法衍生出来的.

2 行列式的定义和性质

行列式定义：级行列式

.

是偶排列时，带有正号，当是奇排列时，带有负号. 这一定义可等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积的代数和，这里是1，2，…，n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：

.

行列式性质1：行列互换，行列式不变.

行列式性质2：以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘行列式.

行列式性质3：如果某一行是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和，而这 个行列式处这一行以外全与原来行列式的对应的行一样.

行列式性质4：如果行列式终有两行相同，那么行列式为零.

行列式性质5：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零.

行列式性质6：把一行的倍数加到另一行，行列式不变.

行列式性质7：对换行列式中两行的位置，行列式反号.

3 行列式的计算

3.1 利用行列式定义直接计算

例1^[1] 计算阶行列式

解：根据行列式的定义，行列式展开后每一项都有个不同元素相乘，且是取自不同行不同列的元素。故取第一行第一个元素，第二行第二个元素，……，第行第个元素相乘，即.

注：行列式的定义：级行列式

等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和，这里是的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当是偶排列时，带有正号，当是奇排列时，带有负号. 这一定义可写成

.

3.2 化为三角行列式

利用行列式的性质将原行列式作保值变形，化为上（下）三角行列式，再利用上（下）三角行列式的特点（主对角线元素的乘积）求出的值.

例2^[2] 计算阶行列式的值

解：

例3^[2,3] 计算行列式

解:

3.3 加边法（又称升阶法）

加边法是把一个阶行列式增加一行一列，然后再利用行列式性质进行计算.

例4^[3] 计算行列式

解：

.

例5^[3,4] 计算行列式

解：

注：加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也适用于其某一行（列）元素分别为个元素的倍数的情况.若有，那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为零，然后再化为三角行列式，达到化简的效果.

3.4 降阶法按行（列）展开法

可以一个阶行列式化为个阶行列式计算，若继续使用按行（列）展开法，可以将阶行列式降阶直至化为多个二阶行列式计算.

例6^[4] 设阶行列式，满足，,求阶行列式的值

解：

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