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摘 要

关键词：二项式定理，组合恒等式，母函数，互逆公式

Abstract：In this paper,. the history of the origin of the binomial theorem was reviewed.Using basic combinatorial identities,the application of binomial theorem in solving the sum of the coefficients of the expansion,Coefficient of a certain item and prove of reciprocal formula were summarized.

Keywords：binomial theorem, combinatorial identity, generating function, inverse formula

目 录

1 引言 4

2 几个基本的组合恒等式 4

3 二项式定理在母函数上的应用 6

3.1 利用二项式定理求展开式中各项系数的和（差） 6

3.2 利用二项式定理求展开式中某项的系数 7

4 二项式定理在互逆公式的应用 8

4.1 利用组合变换的互逆公式证明恒等式 9

4.2 利用阿倍尔恒等式及其导出的互逆公式证明恒等式 14

结论 18

参考文献 19

1 引言

所谓二项式定理是指在为正整数时的展开式. 在中国，二项式定理系数表称为“贾宪三角”或“杨辉三角”.约公元1050年北宋人贾宪首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，他沿用了《九章算术》中的开方算法，将开立方推广到开三次以上的高次方以及解三次以上的高次方程，提出了“立成释锁法”和“贾宪三角”即“开方作法本源”^［1］.公元1261年南宋的数学家杨辉在《详解九章算法》里记录保留“贾宪三角”，所以又称“杨辉三角”^［2］.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

……………………………………

杨辉三角

在欧洲，1427年阿拉伯数学家卡西的著作《算数之钥》给了一个二项式定理的系数表，他与贾宪所使用的计算方式完全相同. 1527年德国数学家阿皮安努斯在他所写的算数书的封面上也刻有此图，但因为在1654年帕斯卡也发现了这个结果，所以在欧洲这个三角形一般称之为“帕斯卡三角形”^［3］.

在1664年和1665年间，因为鼠疫传播而迫使牛顿从剑桥离开的前夜，牛顿便开始研究二项式定理，但只解决了二项式的自乘幂是分数或负数的情况.在1676年6月13日牛顿写给莱布尼兹(由奥尔登博格转交)的一封信中，他第一次提到二项式定理，从此牛顿对该定理进行不断的猜想、推理和证明，最终创立二项式定理.但是牛顿在创立了二项式定理以后，并未对此做出完整的证明.直到1811年，高斯对此进行严格证明，结果表明牛顿猜想正确.

关于二项式定理，其在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和以及差分法中有着广泛的应用，而且还应用在概率论、初等数论、微积分等许多的数学分支中，而本文主要概括总结二项式定理在母函数、互逆公式等方面应用.

2 几个基本的组合恒等式

一般地，二项式定理是指

^［4］

其中

.

要研究二项式定理的应用，必须要探究关于二项式系数的相关性质，即基本的组合恒等式.文中给出如下几个基本组合恒等式,其中、、利用组合式的表达式可以得到.

在二项式公式中，分别令得到

当正整数满足时，有

.

证明 由知：

所以

.

3 二项式定理在母函数上的应用

定义1^［5］设

(3.1)

是一个给定的数列，称形式幂级数

(3.2)

为数列（3.1）的母函数。

数列和它的母函数是一一对应的，本文我们利用母函数赋值求解一些关于二项展开式系数和或差的问题.

3.1 利用二项式定理求展开式中各项系数的和（差）

例1 求

求

解 在公式

，

令，即

.

因为为偶数，所以在公式

，

令得

， 令得

，

和相加得

.

所以

.

3.2 利用二项式定理求展开式中某项的系数

除了求解一些关于二项展开式系数和或差的问题，我们还可以运用二项式系数相关的性质和二项式的通项公式，求解二项展开式中的某些特殊项，如：特定项、常数项、最大项、有理项等.

例2 在的展开式中，的系数是多少？

解 由题意知，的系数等于展开式中含的系数和，即为：

例3 求展开式的第9项；

求展开式中常数项；

求展开式中二项式系数最大的项；

求的展开式中系数是有理数的项.

解 由二项式的通项公式

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