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摘 要

关键词：对称区域；奇偶性；积分

Abstract： Using symmetry of integral domain to coordinate surface , coordinate axis , coordinate origin and parity of integrand , we can construct some useful formula to compute the integral . At the same time we can illustrate it very accurate and effective．

Key words：symmetrical domain；parity； integrand

目 录

1 积分区域的对称性·······································4

2 函数奇偶性·············································4

2.1 一元函数的奇偶性·····································4

2.2 多元函数的奇偶性·····································4

3 用函数奇偶性和积分区域的对称性解决积分计算问题·········5

3.1 计算定积分···········································5

3.2 二重积分计算·········································6

3.3 三重积分计算·········································7

3.4 曲线积分和曲面积分计算······························10

3.4.1. 第一类曲线曲面积分的计算·························11

3.4.2. 第二类曲线曲面积分的计算·························11

结论·····················································14

参考文献·················································15

积分学是《数学分析》这门课程的重点内容,正确且高效的计算积分是学好积分的基础.在学习过程中,我们会常常碰到积分区域是对称区域和被积函数是奇（偶）函数的问题,但教材中并没有明确提出有关积分区域对称性与函数奇偶性的相关结论,而是通过习题的方式出现以示提醒,使得我们对这类题型不能充分正确利用对称性解题.本文从各类积分出发,总结简化各类积分的常见结论并给出具体例子.

1 积分区域的对称性

积分区域关于积分类型的不同而不同,可以是区间、平面区域或者是空间区域,也可以是弧段或者曲面片.我们将积分区域统一为空间区域,给出积分区域对称性的一般定义.

定义1 设为任意的空间区域：

⑴若,满足,则称关于平面对称.

⑵若,满足,则称关于轴对称.

⑶若,满足,则称关于对称.

类似地,可以给出关于面、面、轴、轴对称的定义.

2 函数奇偶性

奇偶性是定义在对称区域上的函数的一个重要性质,通过研究函数奇偶性,可以了解函数图象是否具有对称性,进而解决某些问题的求解.

2.1 一元函数的奇偶性

一元函数的奇偶性清晰地表现出奇函数图像关于原点对称,偶函数图像关于对称的特性.

定义2 设函数的定义域关于原点对称,且对于任意的满足条件,则称是奇（偶）函数.

2.2 多元函数的奇偶性

多元函数的奇偶性表现为关于任意多个变元的奇偶.这里我们主要给出二元函数和三元函数的奇偶性定义.其他多元函数有着相似的定义.

定义3 设函数的定义域关于轴对称,且满足条件

,则称是上关于的一元偏奇（偶）函数.

类似地,可以给出定义域关于轴对称的二元函数关于的一元偏奇（偶）函数,

定义4 设函数的定义域关于坐标原点对称,且满足

,则称是上关于的二元全奇（偶）函数.

定义 5 设函数的定义域关于面对称,且满足

,则称是上关于的一元偏奇（偶）函数.

定义域关于对称的三元函数关于的一元偏奇（偶）函数,以及定义域关于对称的三元函数关于的一元偏奇（偶）函数.

定义6 设函数的定义域关于轴对称,且满足

,则称是上关于的二元偏奇（偶）函数.

类似地,可以给出定义域关于轴对称的三元函数关于的二元偏奇（偶）函数,以及定义域关于对称的三元函数关于的二元偏奇（偶）函数.

定义7 设函数的定义域关于坐标原点对称,且满足条件,则称是上关于的三元全奇（偶）函数.

3 用函数奇偶性和积分区域的对称性解决积分计算问题

在计算积分时充分运用积分区域的对称性以及被奇函数的奇偶性可以大大减少积分计算的计算量,提高计算效率.下面从各类积分出发,总结简化各类积分的常见结论并给出具体例子.

3.1 定积分计算

引理1 设在关于原点的对称区间上连续,则有：

解 积分区间关于原点对称,且对于被积函数为偶函数,由引理1便可得

3.2 二重积分计算

引理2 设二元函数在平面区域连续, 且关于轴对称, 其中是落在轴一侧的区域,则有：

类似地,积分区域关于轴或原点对称时,二元函数关于或有着相似的奇偶性.

.

解 积分区域关于轴对称,被积函数,所以被积函数是关于的偶函数,由引理2可知：

所围成的在轴上方的区域.

解 积分区域与例2的积分区域相同,但是被积函数满足条件：,所以被积函数是关于的奇函数,由引理2可知：

引理3 设二元函数在平面区域连续, 且关于轴都对称, 其中是落在第一象限的区域,则有：

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