论文总字数：5415字

摘 要

：微分方程是数学的一个重要分支．对于全微分方程我们有通用的求解公式，但是并不是所有的微分方程都是全微分方程，所以系统的研究微分方程的积分因子的求法很有必要．本文研究了积分因子的三种确定方法，并且列举了四类常见微分方程的积分因子．

关键词：微分方程，全微分方程，积分因子，通解

Abstract: Ordinary differential equation is an important branch of the mathematics. We have a general solution to the total differential equation, but not all the differential equation is the total differential equation, so it is very necessary to study the solution of the integrating factor for the differential equation systematically. In this paper, three methods of determining integrating factor are studied and the integral factors of four kinds of common differential equations are listed.

Keywords: differential equation, total differential equation, integral factor, general solution

目　　录

1　引言……………………………………………………………………………4

2　积分因子的概念………………………………………………………………4

2.1　全微分方程……………………………………………………………4

2.2　积分因子………………………………………………………………4

3　积分因子的性质……………………………………………………………5

3.1　积分因子存在性………………………………………………………5

3.2　积分因子多样性………………………………………………………5

3.3　函数成为积分因子的充要条件…………………………………………5

4　几类常见微分方程的积分因子……………………………………………6

4.1　可分离变量微分方程………………………………………………………6

4.2　齐次微分方程………………………………………………………………7

4.3　线性微分方程…………………………………………………………8

4.4　伯努利方程 ……………………………………………………………9

5　积分因子的确定方法………………………………………………………10

5.1　观察法求积分因子………………………………………………………10

5.2　凑微分法求积分因子……………………………………………………10

5.3　分项组合法求积分因子…………………………………………………11

结论………………………………………………………………………………13

参考文献…………………………………………………………………………14

致谢………………………………………………………………………………15

1　引言

　　纵观数学史，从中能够了解到常微分方程是数学的重要组成部分，微分方程还是数学分析里很多思想和理论的源头．常微分方程是研究自然规律的重要工具，它的发展进程也是跟随着社会科学发展的，它重点研究的是常微分方程求解的相关问题．

全微分方程的求解相对来说容易一些，但并非所有的微分方程都是全微分方程．对于有的微分方程，我们可以利用积分因子将常微分方程化为全微分方程，这样求解比较简单．但是积分因子的求解方法也是比较多样的，需要我们去思考研究．

　　本文主要是探讨常微分方程各类积分因子，从全微分方程的定义及判定，到积分因子的定义及性质，以及函数成为积分因子的充要条件，最后探究了几类积分因子和确定方法，初步完成对积分因子求解的掌握．

2 积分因子的概念

2.1 全微分方程

一阶微分方程

　　　 （*）

存在可微函数，使，则称微分方程（*）为全微分方程．全微分方程又叫做恰当方程．

全微分方程（*）可写为，因而通解为，为任意常数．

设与在某单调连通区域内连续可微，则微分方程（*）是全微分方程的充分必要条件是．根据曲线积分的原理可知，全微分方程的通解为

．

2.2　积分因子

　　对微分方程 ，如果存在非零连续可微函数，使

成为一个全微分方程，称为的积分因子^[1]．

　　求解某些微分方程的时候我们要确定积分因子，来转化为全微分方程进行求解．求微分方程的积分因子与微分方程的形式有关．

3　积分因子的性质

3.1　积分因子存在性

性质1^[2]　若微分方程有通解，则它总存在一个积分因子。

证明　设微分方程（*）有通解，两边微分：

，由上式得，又由于，所以．

若把中两个相等的比看作，则

，，

用乘以，得或者，这是个全微分方程．

　　这说明若微分方程有通解，它就至少有一个积分因子．

3.2　积分因子多样性

　　在具体解题过程中，微分方程的积分因子存在时并不唯一，且由于求出的积分因子不同，可能导致求出方程的通解具有不同的形式．

　　性质2　如果是微分方程的一个积分因子，则(为任意非零常数)也是该微分方程的积分因子.

证明　设是微分方程（*）的一个积分因子，于是存在二元函数，那么有.对于任意一个非零常数，由于

，

可见也是方程的积分因子，所以该微分方程有无穷多个积分因子.

3.3 函数成为积分因子的充要条件

性质3　函数是微分方程积分因子的充分必要条件是满足方程

证明　若是微分方程（*）的积分因子，则为全微分方程．从而有，，所以

（**）

故必要性成立，反之同理可证充分性成立．

注　（1）（**）是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程．当及连续可微时，它的解是存在的，理论上说明了微分方程积分因子的存在性．

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