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摘 要

关键词: 主共振；多尺度法 ；导算子；Duffing振子；外激励

Abstract：Duffing oscillator is a typical nonlinear vibration system and it has a lot of problems need to be further research. Such as the fractional harmonic vibration, combination vibration, forced vibration etc.. In this paper, the method of multiple scales containing damping Duffing oscillator under harmonic excitation is forced vibration problems, providing certain theoretical guidance for engineering practice.

Keywords：Primary resonance; Multi scale method；Pilot operator；Duffing oscillator；External excitation

目录

1. 引言……………………………………………………………… 4
2. 预备知识………………………………………………………… 4
3. 分析方法………………………………………………………… 5
4. 结论……………………………………………………………… 12
5. 参考文献………………………………………………………… 13

1 引言

Duffing方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动[2]、奇异吸引子和混沌现象[3](或随机过程)的简单数学模型。工程实际中的许多非线性振动问题，如船的横摇运动、结构振动、化学键的破坏等模型可以转化为Duffing方程来研究，另外Duffing方程也广泛地被应用到实际工程中，例如配电网单相故障接地保护[4]、电力系统低频振荡监测[5]、微弱周期信号检测[6]、电路仿真[7]等。

关于Duffing系统还有许多问题尚未彻底研究清楚，如Duffing系统的分数谐波振动、超谐波振动、组合振动等等，都有待进一步分析。本文讨论含阻尼的Duffing振子简谐激励下的受迫振动问题。

对于研究单自由度自治系统的振动问题的分析方法，早在19世纪末Poincare在研究天体力学的问题[8]时，就提出了摄动法。后来又出现了对摄动法的各种改进，其中Lindstedt对Poincare的直接摄动法作了重要的改进，使其能获得自治系统周期振动的一致有效展开。

由于自治系统周期振动的频率可展开为的幂级数，在20世纪50年代，美国学者Sturrock最早引入一系列越来越慢的时间尺度[9]，形成了寻求不同阶次近似解采用不同时间尺度的思想。本文将此分析方法稍加改进用于分析含阻尼的Duffing振子简谐激励下的受迫振动问题，得到了不同激励下主共振峰值与激励频率的解析关系。

2预备知识

多尺度法：

对于自治系统周期振动的频率，由于其可展开为的幂级数，所以其相位形如

(2.1)

引入一系列越来越慢的时间尺度

(2.2)

将这些时间尺度看作独立变量，将方程（2.1）的解表示成

(2.3)

从而形成了寻求不同阶次近似解采用不同时间尺度的思想。现以初值问题

(2.4)

为例，来进一步介绍多尺度法。

首先定义偏导数算子表示导数算子

(2.5)

(2.6)

将（2.1），（2.3），（2.4）代入方程（2.4），比较同次幂的系数得一系列线性偏微分方程

显然，这组方程可依次求解。

多尺度法原本分析的是自治系统的振动问题，是将自治系统周期振动的频率展开成的幂级数，然后引入一系列时间尺度，并将这些时间尺度看作独立变量，从而形成了寻求不同阶次近似解采用不同时间尺度的思想。现对其进行稍加修改，便可以用于分析非自治系统的振动题

定义2.1：二元函数的偏导数 在上有连续的偏导数，则

定义 2.2 ：导数算子

(2.7)

(2.8)

3分析方法

下采用多尺度法研究含阻尼的Duffing系统在简谐激励下的收迫振动问题，其数学模型如下：

(3.1)

若系统是线性小阻尼系统，这时很小的激励幅值F就激发出强烈的共振。

因此，研究主共振时有必要对系统阻尼、外激励幅值和频率加以如下限制：

(3.2)

在（3.2）条件下，（3.1）被变形为

(3.3)

研究（3.3）的一次近似解，只需两个时间尺度，令

(3.4)

并利用（2.7）与(2.8),有

(3.5)

将（3.5）代入（3.3）得

(3.6)

再将（3.4）代入（3.6）得

再比较 同次幂后得到一组线性偏微分方程

(3.7)

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