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摘 要

数形结合是数学解题中常用的思想方法,本文主要讨论利用数形结合的方法来解决在中学数学中遇到的一些抽象的数学问题.并通过数形结合的思想使一些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.

关键词：数形结合,数学问题,技巧,直观.

Abstract: The combination of number and figure is common way of thinking in mathematical problem solving.In this paper,we mainly discuss how to use it to solve some abstract mathematical problems in middle school mathematics.By using this method,we can make the abstract mathematical problem visual and vivid.It helps to get the essence of the mathematical problems.

Keywords: Combination of number and figure, mathematical problem, skill, visual.

目 录

1引言…………………………………………………………………………………………………………4

2数形结合…………………………………………………………………………………………………4

3数形结合在几何中的应用…………………………………………………………………………4

3.1数形结合在平面几何中的应用………………………………………………………………4

3.2数形结合在立体几何中的应用………………………………………………………………8

4数形结合在函数中的应用…………………………………………………………………………8

5数形结合在集合中的应用…………………………………………………………………………11

6数形结合在概率中的应用…………………………………………………………………………12

7数形结合在向量中的应用…………………………………………………………………………14

7.1数形结合在平面向量中的应用………………………………………………………………14

7.2数形结合在空间向量中的应用………………………………………………………………16

结论…………………………………………………………………………………………………………18

参考文献……………………………………………………………………………………………………19

致谢…………………………………………………………………………………………………………20

1 引言

数与形是中学数学研究的两类基本对象,相互独立又互相渗透.尤其在坐标系建立以后,数与形的结合更为紧密.而且在实际应用中,若就数论数,缺乏直观性；若就行论行缺乏严密性,当二者结合往往可优势互补,收到事半功倍的效果.而且通过数到形结合的研究有助于数学思维品质的培养.

2 数形结合

所谓数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来,并充分利用这种结合寻找解题思路,使问题得到解决的数学思想方法.

数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来使抽象思维和形象思维结合.通过对图形的认识、数形的转化,可以培养思维的灵活性、形象性,使问题化难为易、化抽象为具体.

运用数形结合的思想方法,既可以使一些代数问题的解决简捷明快,同时也可以大大地开拓我们的解题思路.

3 数形结合在几何中的应用

平面几何问题和立体几何问题是中学数学中非常重要的一块内容,在考试中所占的比重也非常的大.而解决这一类问题最常见的便是数相结合方法,“以数解形”,通过对几何图形所表示的轨迹数量关系去表达,可以脱离原有图形的复杂的几何关系,使几何问题得到很好的解决.

3.1数形结合在平面几何中的应用

例1 如图1,一次函数的图像与轴,轴分别交于,点,过点作轴的垂线,点为直线上的动点,点为直线与三角形外接圆的交点,点与点都不重合.

⑴写出点的坐标

⑵当点在直线上运动时,是否存在点,使得三角形与三角形全等?如果存在求出的坐标;如果不存在,请说明理由.

⑶若点在直线上,且,记三角形外接圆和三角形外接圆的面积分别是,,求的值

图1

分析:在求解平面几何问题时,我们最常用的方法便是数形结合.通过数形结合能够有效的对题目进行分析,化难为简.

解: ⑴因为点在轴上,且在直线上,

所以,当 时,代入,

得 ,

所以 .

⑵存在点使得三角形全等.

①当在轴上方时,如图2所示

所以 ,,

因为 ,

所以 .

因为在中,

,

所以 ,

所以 ,.

②当点在轴下方时,如图3.

所以 ,.

因为 ,

所以 .

因为在中,

,

所以 ,

所以 ,.

综合上述,存在点或,使得.

③如图4,

设 ,,

所以 ,

.

因为在中,

.

又因为 ,

所以 .

因为 ,

,

所以 ,,

所以

所以 .

3.2数形结合在立体几何中的应用

例2 在四棱锥中,（如图5）四边形是矩形,平面平面,是的中点,求证//平面,

图5

证明:连接交于点,连接,

因为是中点,是中点,

所以 .

因为 平面,平面,

所以 平面.

因为 平面平面,平面平面,

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