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摘 要

在函数项级数中，幂级数占有重要的地位.求幂级数的和函数是幂级数理论的一部分，对学生来说也是一个难点.本文首先介绍了幂级数的基本理论，然后通过一些典型例题，总结了求幂级数的和函数的几种方法.一般幂级数求和函数的方法是逐项求导法或者逐项积分法.通项比较复杂时，求和函数方法之一是将幂级数看成几个已知函数的幂级数经过四则运算的结果；另一方法是把幂级数看成某个微分方程的解，再用非幂级数的方法去求微分方程的解.

关键词：幂级数，和函数，逐项求导，逐项积分

Abstract：In the function item series, power series occupies an important position. For power series and the function is part of the theory of power series, is also a difficulty for students. This article first introduces the basic theory of power series, and then through some typical examples of power series to summarizes the functions of several kinds of methods. General method of power series summation function is derivation method or the item by item by item integral method. General term is more complex, the method of sum function is one of the power series as several known function of power series after the result of the arithmetic; Another method is to consider the power series solution of a differential equation, then use the method of power series solution of differential equation.

Keywords：Power series, sum function, successive derivation, term-by-term integration

目 录

1 引言 3

2 幂级数 5

2.1 幂级数的理论 5

2.1.1 幂级数 5

2.1.2 收敛半径 5

2.2 幂级数的性质 5

2.3 几个常见函数的幂级数展开式 6

3 和函数 7

3.1 逐项求导法以及逐项积分法 7

3.2 将幂级数转化为已知函数的幂级数 9

3.3 幂级数的四则运算的应用 10

3.3.1 差分法 10

3.3.2 拆项法 11

3.4 幂级数看成微分方程的解 12

结论 14

参考文献 15

1 引言

级数理论的发展是一个相当漫长的过程，从涉及芝诺的二分法和把1分解成无穷级数到十八世纪级数理论的确立，经历了几个世纪的时间.然而无穷级数作为分析的一个有效工具，不但丰富了数学理论的发展，而且促使了数学产生许多分支，推动了人类发展的进步.

其实，早在十四世纪就有泰勒级数以及相关级数的出现了.其最早的形式是公元前3世纪古希腊哲学家亚里士多德提出的公比小于1的无穷几何级数，后来阿基米德使用几何级数求出了抛物线弓形面积，并且求出了它的和（用数学形式表达的无穷级数）.中世纪后期无穷级数散见于的数学著作中，并用于求解变速运动物体所走过的路程.之后的十七世纪到十八世纪是级数理论发展的黄金时期，其中牛顿的插值公式用了有限差分方法，这一公式后来由泰勒发展成把函数展开成无穷级数的最有力的方法.

十八世纪无穷级数形式得以发展，其中的泰勒定理、拉格朗日微分中值定理等等促成了十九世纪无穷级数理论的建立，而后柯西给出了泰勒定理的可靠证明并于1839年载入《关于级数的收敛》中，同时他还对函数项级数进行了研究.然而，在相当长的一段时间内，人们把级数只作无穷多项式，胡乱的运用无穷级数.直到十八世纪末，由于广泛随意地应用无穷级数，得到了一些可疑的、荒谬的结果，才促使人们不得不探讨无穷级数计算的合理性.在十九世纪初，法国数学家、物理学家傅里叶和捷克数学家波尔擦诺等人开始确切处理无穷级数.波尔擦诺强调必须考虑级数的收敛性，而傅里叶给出了无穷级数的定义，并指出了级数收敛的必要条件是其通项的极限等于零.高斯第一个提出应该把级数的使用限制在他们的收敛域内.除此之外，这一时期数学家们广泛研究三角级数，并用于天文理论当中.

挪威数学家阿贝尔奠定了幂级数收敛的一般理论，虽然当时未能把一致收敛的性质抽象概括出来，但是他第一次给出了这种级数展开式成立的严格证明，从而解决了在实数与复数范围内分别求幂级数的收敛半径和收敛区间的问题.自十八世纪起到今天，级数一直被认为是微积分不可缺少的部分，它的理论发展不仅极大的丰富了数学内容，也使得数学史上的很多难题得以解决.

以上是西方级数的发展史，同样的，幂级数在中国也是有悠久历史的.最早出现应该是在战国时期，抽象数学的提出.例如《庄子·天下》中提到的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”这句，就是用数学形式表示的无穷级数.后来北宋时期的沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题中开始研究高阶等差级数的和.在南宋时期，秦九昭推广了增乘开方法，杨辉利用“垛积木”求出几类高阶等差级数之和，并叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法.

幂级数是高等数学中的一个重要内容，同时也作为一种有效的计算工具.它不仅能应用于求法极限、数项级数的和，计算定积分和积分，解常微分方程和证明欧拉公式，还能对泰勒级数、洛朗展式和傅里叶级数展开起着铺垫的作用，而且用它解题往往思路清晰、逻辑清晰.幂级数也可以用于对函数的可积、可微和连续性进行判断.

下面我将简单介绍一下幂级数的概念.函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂级数的函数项级数即所谓的幂级数，它的一般形式是

， （1）

只要作代换，就可以把它化成

， （2）

的形式，我们一般取（2）的形式来讨论，并不影响一般性，其中常数叫做幂级数的系数.例如：

，

，

都是幂级数.

若对幂级数中的每一个都有，则称为幂级数的和函数.和函数是次部分中趋于正无穷时所得的极限，就是幂级数所有项的和，是关于的函数.

而学习了复变函数后知道幂级数是最简单的解析函数项级数，它的收敛范围很规范，是一个圆.如果幂级数的收敛半径，且，则在收敛圆周上至少有一个奇点，也就是说不可能有这样的函数存在，使得它在内与恒等，而在上处处解析.

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