论文总字数：5280字

摘 要

矩阵的若尔当标准形理论是矩阵的重要理论之一， 任何一个复数矩阵都与若尔当标准形相似。本文介绍了矩阵的若尔当标准形的概念和求矩阵的若尔当标准形的方法，然后给出其在矩阵对角化、秩以及一些定理的证明等问题的应用。

关键词：若尔当标准形，最小多项式，初等因子，矩阵

Abstract：The Jordan canonical matrix form theory is an important theory of matrix,Any of a complex matrix and the Jordan canonical form similar,This paper introduces the concept of the Jordan canonical form of matrix and the way to The Jordan canonical form of matrix.Then it gives the application of the proof of the matrix on the matrix, rank, and some theorems.

Keywords： Jordan canonical form, minimal polynomial, elementary factor matrix,-matrix

目 录

1 引言………………………………………………………………………………4

2 若尔当标准形的基础知识………………………………………………………5

3 若尔当标准形的求解方法………………………………………………………7

4 若尔当标准形在解题中的应用………………………………………………10

4.1 在定理证明中的应用…………………………………………………………8

4.2 在矩阵对角化问题的应用……………………………………………………9

4.3 在矩阵可逆问题的应用……………………………………………………10

5 结论……………………………………………………………………………11

6 参考文献………………………………………………………………………12

1 引言

若尔当标准形在整个高等代数以及线性代数中都有着非常重要的作用，学习若尔当标准形的内容不仅仅可以帮助我们更加全面的了解代数方面的知识，还能在一些计算中为我们简化计算，并且在一些矩阵的相似问题以及对角化的问题上给我们提供很大的方便，在本文还介绍了若尔当标准形在一些代数中重要定理的证明中的作用。本文先对有关于若尔当标准形的一些知识点做梳理，对一些重要的定理进行归纳并且给出证明。然后通过介绍初等因子以及初等因子的求解方法来得到求一个矩阵的若尔当标准形的常用方法，并且给出相应例题，最后通过翻阅大量资料，搜集一些通过若尔当标准形能够简化计算的题型进行归纳总结，

2 若尔当标准形的基础知识

定义1 -矩阵的定义：设P是一个数域，是一个文字，作多项式环.一个矩阵，如果它的元素是的多项式，即的元素，就称为-矩阵.

定义2 不变因子：标准形的主对角线上非零元素称为的不变因子.

定义3 初等因子定义：把矩阵（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵（或者线性变换）的初等因子.

定义4 若尔当块定义：设为一个复数，矩阵

,

其中主对角线上的元素都是，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的一个若尔当块，例如

,

定义5 最小多项式的定义：设，在数域P上的以为根的多项式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称为的最小多项式.

定理1 每个级的复数矩阵都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为的若尔当标准形.

定理2 任意一个非零的的-矩阵都等价于下列形式的矩阵且 ,

证明 经过行列调动之后，可以使得的左上角元素，如果不能除尽的全部元素，由引理，可以找到与等价的，它的左上角元素，并且次数比低，如果还不能除尽的全部元素，由引理，又可以找到与等价的，它的左上角元素，并且次数比低.如此下去，将得到一系列彼此等价的它们的左上角元素皆不为零，而且次数越来越低.但次数是非负整数，不可能无止境地降低.因此在有限步以后，我们将终止于一个，它的左上角元素，而且可以除尽的全部元素，即，对作初等变换

,

在右下角的中，全部元素都是可以被除尽的，因为它们都是中元素的组合.如果，则对于可以重复上述过程，进而把矩阵化成

,

其中与都是首项系数为1的多项式，而且能除尽的全部元素.

如此下去，最后就化成了所要求的形式.最后化成的这个矩阵为的标准形.

3 矩阵的若尔当标准形

首先先说明一下初等因子该如何求解

用为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是的全部初等因子.

下面给出这种方法的理论证明

证明 设已用初等变换化为对角形

= ,

其中每个的最高项系数都为1，将分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：

= ,

我们现在要证明的是,对于每个相同的一次因式的方幂,在的主对角线上按递升幂次排列后,得到的新对角矩阵与等价.此时就是的标准形而且所有不为1的就是的全部初等因子.为了方便起见，先对的方幂进行讨论.令，,于是， 而且每个都与互素.如果有相邻的一对指数，则在中将与对调位置，而其余因式保持不动.根据引理，

与,

等价.从而与对角矩阵

等价.然后对作如上讨论.如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含的方幂是按递升幂次排列为止.依次对作同样处理，最后便得到与等价的对角矩阵，它的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂，都是按递升幂次排列的.

例1（计算初等因子） 求矩阵=的初等因子.

解 =

,

因此，易得矩阵的初等因子为和.

上面介绍完了矩阵的初等因子的求解方法，下面将通过初等因子把矩阵的若尔当标准形的求解方法给出来，我总结了一下步骤:

（1）求的初等因子;

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