论文总字数：6317字

摘 要

线性代数和微分方程虽然从表面上看两者处理的问题对象不同，但微分方程与线性代数确实有着密切的关系. 本文从线性代数的几个重要的主题——线性函数、零空间、特征值和特征向量，以及非齐次方程来探究其与常微分方程的关联.

关键词：线性代数，微分方程，零空间，特征值，线性方程组

Abstract: Although it seems that Differential Equation is different from Linear Algebra in the objects they deal with, they do have a close relationship with each other. This paper focuses on linear function, null space, eigenvalue, eigenvector and nonhomogeneous equation — several important themes of Linear Algebra to investigate the relationships between Linear Algebra and Differential Equation.

Keywords：linear algebra, differential equation, null space, characteristic value, linear equations

目 录

1 引言 4

2 线性函数与线性微分方程 4

2.1 线性函数 4

2.2 线性微分方程 5

3 零空间与齐次微分方程的通解 5

3.1 零空间 5

3.2 齐次微分方程的通解 6

4 特征值与特征向量 6

4.1 矩阵的特征值与特征向量 6

4.2 微分方程的特征值与特征向量 7

5 非齐次线性方程 10

5.1 非齐次线性代数方程组 10

5.2 非齐次线性常微分方程 10

结 论 13

参 考 文 献 14

1 引言

线性代数是一门探讨矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的学科，其主要内容有行列式、矩阵、向量组的相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值与特征向量、相似矩阵与二次型等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能.

如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就称为常微分方程，也可以简单地称为微分方程. 微分方程的主要讲解内容有初等积分法、解的存在唯一性定理、一阶线性微分方程组、n阶线性微分方程和一阶偏微分方程初步等方面内容. 一般来说，n 阶微分方程的解含有n个任意常数，即微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的解数相同，这种解称为微分方程的通解. 如果根据实际问题要求出其中满足某种给定条件的解来，那么求这种解的问题称为定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解称为特解.

线性代数和微分方程作为理工科两门独立课程，表面上两者处理的问题对象不同， 使用的分析运算技巧也不同. 在这种认知下，我们很自然会将微分方程和线性代数看成平行进展的数学领域. 可是，若仔细观察研究，可能发现两者间存在一些概念和形式交集. 在本文中，我将选取几个重要的线性代数主题——线性函数、零空间、特征值和特征向量和非齐次方程，从这些方面来探究微分方程与线性代数的关联.

2 线性函数与线性微分方程

2.1 线性函数

在线性代数里，线性函数是一个线性映射.

定义2.1^[1] 设V和W是在相同数域R上的向量空间，f是由向量空间V映射至另一个向量空间W的函数，记作. 对于V中的任意两个向量和，以及任意一个实数c，如果总是满足：

我们就称f是从V到W的线性函数，也可以称为线性算子、线性映射或线性变换.

例1 令是n维欧氏空间，设A是阶实矩阵，设由矩阵乘法计算可知：

故是由映至的线性函数.

例2 令V为所有多项式所形成的向量空间，微分算子可视为由V映至V的函数. 由微分基本性质可知:

故微分算子D是一个线性函数.

例3 令表示所有连续实函数形成的空间，设

其中 由于

故L是线性函数.

2.2 线性微分方程

简言之，线性微分方程是指微分方程中关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程.

由微分算子D是线性函数，易知全部都是线性函数. 线性函数的线性组合还是线性函数，的线性组合与线性函数L结合成一个方程式便得到常系数线性微分方程

其中是给定的常数.

求解微分方程等于寻找u(x)使得

这是一个非常重要的思想，由此可以逐步建立起微分方程与线性代数的关联.

3 零空间与齐次微分方程的通解

3.1 零空间

定义3.1^[2] 设f是由向量空间V映射至另一个向量空间W的线性函数，所有满足的所形成的集合构成V 里的一个子空间，这个子空间称为f 的零空间，或核，记作 N (f ) .

注意：零空间必定包含零向量.

例如，设A是一个矩阵. 对于矩阵A，所有满足的向量组成的集合N(A)，是一组由下列公式定义的n维向量：

可以证明N(A)包含零向量，且对线性运算封闭. 因此N(A)是一个向量子空间，这个子空间称为矩阵A的零空间. 求矩阵A的零空间，就是求线性方程组 AX= 0 的解空间.

矩阵A可以看做一组列向量如果这组向量是线性无关的，那么AX=0的解空间只包含一个向量：零向量；反之，如果零空间包含非零向量，说明矩阵的列向量线性相关.

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