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摘 要

在数学分析中，重积分占有重要的地位，也是学习的一个难点。重积分的旋转变换在计算重积分时经常起到事半功倍的效果．我们所遇到的重积分旋转变换的方法有很多，其中利用二重积分极坐标变换的方法是数学研究中最常用的，也是我们重点要掌握的方法．利用二、三重积分变量变换的一般规律，确定二重积分和三重积分积分区域的常用方法和技巧．本文通过一些典型例题，总结了重积分旋转变换的几种方法．

关键词：重积分，旋转变换，方法

Abstract：In mathematical analysis, the multiple integral occupies an important position，it is difficult for students. The rotation transformation is very useful on multiple integral calculation. There are many rotation transformation methods, which are wigely used. By using the general law, the common methods and techniques,the region of the double-integral and the triple-integral are determined. In this paper, basic on some typical examples, we summarize several methods of multiple integral rotation transformation.

Keywords：multiple integral,rotation transformation,method

目 录

1 引言 4

2 二重积分的旋转变换 5

2.1 换元积分公式 5

2.2 二重积分旋转变换的应用 5

3 三重积分的旋转变换 8

3.1 坐标变换定理 8

3.2 三重积分旋转变换的应用 8

结论 10

参考文献 11

致谢 12

1 引言

旋转变换是由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点换同一方向，转动同一个角度．旋转变换是欧式几何中的一种重要变换，即在欧氏平面上(欧氏空间中)，让每一点P绕一固定点(固定轴线)旋转一个定角，变成另一点P′，如此产生的变换称为平面上(空间中)的旋转变换．此固定点(固定直线)称为旋转中心(旋转轴)，该定角称为旋转角．旋转是第一种正交变换．

重积分（主要是二重积分和三重积分）的定义与一元函数情形时的定积分完全相同，即（对函数的定义域）分割（成个小块）、近似代替（在每一小块中以某一点处的函数值代替该小块中所有点处的函数值）、求和、取极限所得的结果．因此，重积分与定积分有相同的性质．

二重积分概念：设是有界闭区域上的有界函数，用面上的一组曲线网将闭区域分成个小闭区域，它们的面积设为，记的直径的最大值为，在上任取一点，，作和

，

若当，上述和式的极限总存在，则称此极限为函数在区域上

的二重积分，记作，即

，

二重积分具有与定积分完全平行的性质，例如保号性、绝对可积性和中值定理等．

三重积分概念：设区域为三维空间中可求体积的有界闭区域，为定义在上的三元函数，任给的一个分割：（，除边界外，两两内部不相交），在每个（体积即为）上任取一点（），，当极限存在时（指极限值与分割和每个上的点的取法都无关），称该极限值为在上的三重积分，即

．

2 二重积分的旋转变换

2.1 换元积分公式

设在有界闭区域D上可积，变换将平面上由分段光滑封闭曲线所围成的闭区域一一对应到平面上的闭区域D，函数分别在上有连续的一阶偏导数，且它们的雅克比行列式

则．

2.2 二重积分旋转变换的应用

例1 将重积分化为定积分，其中．

分析　由于被积函数为抽象的，题意是让我们利用换元法将其转化为一元函数，再利用累次积分将该二重积分化简．

解　由对称性，，其中

．

设，，则，于是

．

注 如直接采用先后的积分，得

．

无法将题中的二重积分化简成定积分．

例2 　计算，其中D=．

解 积分区域如图3，作坐标旋转变换，逆时针旋转π/4，

则由D：得出新坐标

D：，且．

故原式=．

例3 设坐标平面上有一周长为的椭圆，在其上选定一点作为计算弧长s的起点，以逆时针方向作为计算弧长的方向，这时有参数方程

X轴的正半轴绕原点作逆时针旋转，首次转到与点切线一致时的倾角为．现记D为的外部区域内与的距离小于l的点所构成的区域．

1. 如果用t表示D内一点（x,y）到的距离，试将x,y表成s,t的函数：

1. 验证区域D的面积为．

解 （1）从x轴的正方向逆时针到与点处的外法线方向，转角为，因此

．

（2）注意到在曲线上的点处，由于故

有

故

通过二重积分旋转变换的方法可以求解一些利用极坐标变换无法解决的问题，为数学实际生活提供便利．

3 三重积分的旋转变换

3.1 坐标变换定理

柱坐标变换 中各参数的几何意义：是（点P(x,y,z)在面上的投影）点Q（x,y）到原点的距离；是轴正向与向径OQ之间的夹角．

球坐标变换 中各参数的几何意义：是点P（x,y,z）到原点的距离（注意与柱坐标不同）；是轴正向与向径OQ之间的夹角，其中点是点在面上的投影（与柱坐标中相同）；是轴正向与向径OP之间的夹角．

因此，从参数的几何意义不难看出，无论是柱坐标变换函数球坐标变换，首先要做的都是要将积分区域V向射影．

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