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摘 要

微分算子法在求解微分方程和多元微分中有非常简便有效的作用，论文主要介绍的是用微分算子及其逆微分算子的相关性质来求解非线性项为指数函数，三角函数，幂函数及其混合函数的微分方程的特解，还介绍了微分算子法在偏微分方程以及多元微分中的相关应用，并且用具体的例题来表现微分算子法的有效性和简便性.

关键词：微分算子，常微分方程，偏微分方程，特解，多元微分

Abstract：The differential operator method is very simple and effective for solving differential equations. In this paper, the properties of the differential operator and its inverse differential operator are introduced to solve the nonlinear item as exponential function, trigonometric function, power function and the differential equation of the mixed function. The differential operator method in partial differential equations and the related application of multivariate differential, effective and simple and specific examples are also introduced.

Keywords：differential operator, ordinary differential equation, partial differential equation,

particular solution, multiple differential

目 录

1 引言 4

1.1 微分算子的性质 4

1.2 逆微分算子的性质 4

2 微分算子法在微分方程中的应用 5

2.1 微分算子法在常微分方程中的应用 5

2.1.1 是指数函数 6

2.1.2 是三角函数 6

2.1.3 是幂函数 7

2.1.4 是混合型 8

2.2微分算子法在偏微分方程中的应用 9

3 微分算子法在多元微分中的应用 11

结 论 15

参 考 文 献 16

致 谢 17

1 引言

算子就是表示有确定意义的一组运算.算子解法就是用算子来解决问题的方法.本文主要讨论的是微分算子法及其函数算子，在求解微分方程、多元微分等问题中的应用.

引入微分算子：

定义1 ，其中,叫做阶微分算子，则表示对进行求导运算，表示对求导次；表示积分；表示对积分次，不用带常数项.

因此，阶微分方程的一般形式

，

可以表示为

，

即

，

其中， ，称为算子多项式，简称微分算子，那么方程的特解为．其中,称为逆算子.

1.1 微分算子的性质

引理1^[5] 设算子多项式如上定义,,为可微函数,则有

1. ；
2. 设，则；
3. 设，则．

引理2^[5] 设算子多项式如上定义,,为二阶可导函数,则有

1. ；
2. ，；
3. ；
4. ．

1.2 逆微分算子的性质

引理3^[5] 设算子多项式如上定义,,为可微函数,则

1. ；
2. ；
3. 设，则

．

利用上述性质，可以得到以下定理：

定理1^[5] 设算子多项式如上定义,,为二阶可导函数,则

1. ；
2. 若，则；
3. 若，不妨设为的重根，，则

，其中，表示对求阶导数．

定理2^[5] 设算子多项式如上定义, ,则

1. 若，则，；
2. 若，不妨设为的重根，则

，；

1. ，

其中，，为商式，按的升幂排列，且的最高次幂为.

2 微分算子法在微分方程中的应用

利用微分算子及其逆算子可以非常简便地求解非齐次线性微分方程.它是求解方程特解的极其有效的方法.

2.1 微分算子法在常微分方程中的应用

已知阶微分方程的一般形式为，下面我将给出几类用微分算子法解题的实例，从中我们将看到使用微分算子法的简便性.

2.1.1 是指数函数

例1 求解方程.

解 原方程可以表示为,则，．由定理1(2)可得原方程的特解为

．

例2 求解方程．

解 （法一）原方程可以表示为，则，显然为的单根，此时．由定理1(3)可得原方程的特解为

．

（法二）由法一知，由引理3(3)可得原方程的特解为

由以上例题可以总结出，用微分算子法解微分方程，首先把微分方程写成的形式，确定，得出方程特解为.

若方程形如时，再判断是否等于零，如果，就使用定理1(2)算出结果.如果，判断出是的几重根，再使用定理1(3)算出结果.

2.1.2 是三角函数

例3 求解方程．

解 原方程可以表示为，则，所以，

．由定理２(1)可得原方程的特解为

．

例4 求解方程．

解 原方程可以表示为，则，，所以为的单根，．由定理2(2)可得原方程的特解为

．

由以上例题可以总结出，解微分方程遇到，时，要凑出来.里有，即可代换为，然后判断是否等于零，如果，就运用定理2(1)代换后算出结果；如果，就使用定理2(2)算出结果.

2.1.3 是幂函数

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