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摘 要

关键词：函数的可微性，近似计算，误差估计

Abstract:This paper systematically summarizes and expounds the differentiability of functions in the application of all kinds of approximate calculation,example analysis,sums up and summarizes the application of various approximate formula of the matters needing attention,etc.

Key Words: the differentiability of the functions, approximate calculation, error estimates

目录

1 引言 4

2一元函数的可微性以及其在近似计算中的应用 4

2.1 一元函数的微分定义 4

2.2微分在近似计算中的应用 5

2.2.1应用微分作近似计算 5

2.2.2误差估计 7

3 多元函数的可微性以及其在近似计算中的应用 8

3.1 可微性与全微分的定义 8

3.2 偏导数的定义 9

3.3 全微分在近似计算中的应用 9

结论 12

参考文献 13

1 引言

在科学技术中，微分是在函数应用方面经常遇到的一个问题，比如在函数近似求解问题上的应用.拉格朗日，柯西，泰勒等人在微分方面都做出了巨大的贡献.如今，函数的可微性已经逐步形成了一门系统完整、逻辑严密的学科，不仅成为了其他许多数学分支的重要基础，而且在自然科学、社会科学、生命科学、经济管理等方面有十分广泛的应用.在高等数学中，函数可微占有重要的主导作用.本文先阐述了一元函数的微分与二元函数偏导数，可微性和全微分的定义.再通过一元函数与二元函数的近似公式，结合例题分析，总结归纳了应用函数的各种近似公式时应注意的事项.

2一元函数的可微性以及其在近似计算中的应用

2.1 一元函数的微分定义

设函数定义在点的某邻域上.当给一个增量，时，相应地得到函数的增量为

.

如果存在常数，使得能表示成

， (1)

则称函数在点可微，并称（1）式中的第一项为在点的微分，记作

或. (2)

定理 函数在点可微的充要条件是函数在点可导，而且（1）式中的等于.

证 必要性 若在点可微，由（1）式有

.

取其极限后有

.

这就证明了在点可导且导数等于A.

充分性 若在点可导，则在点的有限增量公式

表明函数增量可表示为的线性部分与较高阶的无穷小量之和，所以在点可微，且有

.

2.2微分在近似计算中的应用

2.2.1应用微分作近似计算

由函数增量与微分关系

，

当很小时，有

， （3）

由此即得

， (4)

或当时有

， (5)

注意到在点的切线方程即为

， (6)

（5）式的几何意义就是当充分接近时，可用切线近似代替曲线.常用这种线性近似的思想来对复杂问题进行简化处理.

设分别是，，，和，令，则由（5）式可得这些函数在原点附近的近似公式：

；；；；.

一般地，为求得的近似值，可找一邻近于的点，只要和易于计算，由（5）式可求得的近似值.另外应用近似公式（3）、（4）时，应该注意当很小时才能应用.

例1 求的近似值.

解 由于，因此取，，值很小，因此可以由（5）式得到

.

（的真值为0.544639...)

例2 求的近似值.

解 取，由（6）式得

，

令，，，因此得

.

例3 设钟摆的周期是1s，在冬季摆长至多缩短0.01cm，试问此钟每天至多快几秒？

解 由物理学知道，戴白周期与摆长的关系为

，

其中是重力加速度.已知钟摆周期是1s，故此摆原长为

.

当摆长最多缩短0.01cm时，摆长的增量，因此它引起单摆周期的增量

.

这就是说，加快约0.0002s，因此每天大约加快

.

例4 有一批半径为2cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01cm，估计一下每只球需用铜多少克（铜的密度是）?

解 先求出镀层的体积，再乘上密度就得到每只球需用铜的质量.

因为镀层的体积等于两个球体积之差，所以它就是球体体积，当自取得增量时的增量，我们求对的导数：

，

由（3）式得

，

将，代入上式，得

，

于是镀每只球需用的铜为

.

2.2.2误差估计

在生产实际中，经常需要测量各种数据，但是有的数据不易直接测量，这时我们就通过测量其他有关数据后，根据某种公式计算出所要的数据.例如，要计算圆钢的截面积，可先测量圆钢截面的直径，然后根据公式算出.

由于测量仪器的精度、测量条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算得到的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.

先介绍绝对误差、相对误差的概念.

如果某个量的精确值为，它的近似值为，那么叫做的绝对误差，而绝对误差与的比值叫做的相对误差.

设量是由测量得到，量是由函数经过计算得到.在测量时，由于存在测量误差，实际测得的只是的某一近似值，因此由算得的也只是的一个近似值.若已知测量值的误差限为（它与测量工具的精度有关），即

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