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摘 要

：向量是现代数学中的一个重要概念，是刻画和描述现实生活的重要模型，运用非常广泛．本文根据向量与几何、代数、三角函数等之间的关系．利用向量法来研究和证明一些数学命题，以简化解题步骤，体现向量的直观性与优越性。

关键词：向量，数学命题，证明，方法

Abstract: Vector is one of the important concepts in modern mathematics. It is an important model to depict and describe the real life. Its application is very extensive. In this paper, according to the relationship among vector and geometry, algebra, trigonometric function and so on, we use vector method to study and prove some mathematical propositions, in order to simplify the steps of problem solving, to reflect the intuition and superiority of the vector.

Keywords: vector, mathematical proposition, prove, method

目　　录

1　引言……………………………………………………………………………4

2　向量的概念及性质……………………………………………………………4

2.1向量的概念…………………………………………………………………4

2.2向量的运算律及性质………………………………………………………4

3　向量法及基本应用……………………………………………………………5

4 若干数学命题的向量法证明…………………………………………………6

4.1几何命题的向量法证明……………………………………………………6

4.2代数命题的向量法证明……………………………………………………10

结论………………………………………………………………………………16

参考文献…………………………………………………………………………17

致谢………………………………………………………………………………18

1　引言

向量是现代数学和物理学的重要工具，作为一种既有大小又有方向的量，有着几何形式与代数形式的“双重身份”，典型地体现了数形结合、构造建模、化归转换、平移变换等的思想，是沟通代数、几何与三角的桥梁．向量常常是解决问题的有力工具．

向量在数学的各个分支都有着广泛应用．在各个学科的交汇处蕴涵着很多数学问题，有时用向量工具证明能收到事半功倍的效果，显得简便美妙．在证明几何、代数、不等式、三角函数等相关命题时，用传统的解题方法往往很复杂，引入向量的方法会使得证明的过程更加简洁、高效，降低了解题的难度，往往会起到事半功倍的效果，所以向量已逐渐成为数学命题证明中不可或缺的工具，其运用也越来越广泛，本文就相关数学命题的证明来谈谈向量的妙用．

2 向量的概念及性质

2．1 向量的概念

向量是既有大小又有方向的量．

向量的大小叫做向量的模，也称为向量的长度．向量的模分别记做．

两个向量的模和它们的夹角的余弦值的乘积叫做向量的数量积，记做，即 =．

两个向量的向量积是一个向量，记做，它的模是

．

它的方向与都垂直，并且按这个顺序构成右手系．

2．2　向量的运算律及性质

性质1 在平面内，向量，，则

．

性质2 非零向量，的数量积为．

性质3 设向量，，则．

性质4 设非零向量，,则夹角满足

．

性质5 设向量，则．

性质6 空间任意两向量成立不等式：

以及 ．

性质7 共线向量定理^[1]

对空间任意两个向量（），则的充要条件是存在实数，使．

推论：三点共线存在实数，使存在实数，使．

性质8 共面向量定理^[2]

如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对，使．

推论：四点共面与，共面存在实数对，使存在实数对，使．

性质9 向量加法满足交换律，结合律，且．

性质10 数量与向量的乘法满足结合律,第一分配律,第二分配率，且．

3 向量法及基本应用

向量法就是用向量解决数学问题的方法．在代数、几何等数学问题中用传统的解题方法往往很复杂，不仅需要大量的计算，还需要很强的技巧，解决起来经常找不到思路，而向量运算降低了解决问题的难度，且直观，思路清晰，易于下手，运算过程公式化，程序化，有效地突破了难点，易于接受．向量法充分体现了新方法的优越性，对于培养直觉思维、逻辑思维、演绎证明．运算求解等理性思维能力具有重要意义，因此可以构造向量轻松地解决问题．

向量在几何中的应用非常广泛．首先，可以利用向量证明线线平行、线面平行、面面平行的平行类问题．共线问题证明是几何证明中的一个重要类型，证明的方法多种多样，因题而异．而向量是非常有用的一个数学工具，它把许多数学问题的研究从定性深入到定量，能充分体现出数学教学中数形结合的思想．其次，可以利用向量证明线线垂直、线面

垂直、面面垂直的垂直类问题．再次，可以通过向量求异面直线的夹角及二面角的平面角的大小．另外，也可以运用向量求解点到线、点到面、线到面、面到面的距离^[3-6]．

向量也可以解决代数中的相关问题，利用向量能够有效地证明等式和不等式，并且可以通过向量法求出最值以及三角函数的问题．

在用向量法解决问题的过程中，应该注意如何有效地构造向量，将向量的坐标表示与代数表示方法相结合，同时明确向量的大小和方向以及向量之间的夹角，必要的时候可以建立直角坐标系，使得求解过程更加直观简单．

4 若干数学命题的向量法证明

用向量方法可以解决几何、代数、等相关方面的问题，并且可以起到化繁为简的效果，兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性．现就几类常见的数学命题谈谈如何利用向量的性质及命题的特点来构思证题思路．

4.1 几何命题的向量法证明

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