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摘 要

关 键 词： 级数，通项，一般项

Abstract:The paper systematically discusses and summarizes the general term for series of steps: according to the law of arranged in series in the preceding paragraph, by observing the characteristics, find out the commonness, seize the essence, sum up, get the general term.

Key word： Series, general term, general term

目录

1 前言 6

2 观察法 6

3 公式法 7

4 待定系数法 8

5 递推法 10

6 逐差法 11

结论 13

参考文献 14

致谢 15

1 引言

在数学中，一个无穷的序列的和的形式称为级数.其中称作级数的通项.级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是其他变量的函数，不一定是一个数.如果级数的每一项是实常数，则称之为数项级数;如果级数的每一项是函数，则称之为函数项级数.我们在平时的学习和解题实践中，往往会遇到一些级数，这些级数只是显示出前面仅有的几项而隐藏了其通项，这对判断其敛散性、求其和或和函数等问题带来了困难.这就要求我们根据所学的方法，分析其各项的规律求出级数通项，但是在我们平时的学习研究过程中，往往会碰到一些复杂的级数，例如需要构造出一个新的级数来求出其通项，这类问题往往正常的学生都难以解答.我们将介绍几种根据已知级数的前几项的排列规律，利用其共性得出级数通项的方法.

2 观察法

观察法又叫猜想法，不完全归纳法.观察法主要是观察数列中各项与其号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式 注：关键是找出各项与项数的关系.

例1 写出下面级数的一般项

（1）

（2）

解 （1）把第一项和第二项改为观察此级数的前项，发现各项的分子组成的数列是-1,0,1,2，3，……， 一般项为n-2,各项的分母组成的数列是2,3,4,5,6，…，一般项为 1，故级数的一般项为

（2）观察级数的前项，发现级数的各项的分子序列为把他们改写为一般项为，各项的分母数列为2,，,，…，把它们改为, ,, ,,一般项为，故级数一般项为

.

3 公式法

如果已知级数各项成等差或等比数列，用级数的项数，首项和公差（或公比）代入通项公式，可求出级数的通项.

例2 写出级数-11-19-27-35-…的通项.

解 此级数各项构成一等差数列,,公差,根据等差数列的通项公式得

例3 写出级数2 4 8 16，的通项.

解 此级数各项是一等比数列,根据等比数列的通项公式得

例4 设正项级数，其前项和为，并且对于所有的自然数，与2的等差中项等于与2的等比中项，求级数的通项公式

解 由条件得，即①,②.由①-②得

8=

即

分因式得:

对于所以是公差为4的等差数列，从而得到级数的通项

例5 已知级数2 10 32 各项满足,求级数通项

解 将两边除以得

,,

故级数各项是以为首,以为公差的等差数列,

由等差数列的通项公式得

,

所以级数通项.

4 待定系数法：

由给定的条件确定通项公式中的待定系数,这种方法称为待定系数法.

例6 已知级数

1 3 6 …

的前项之和，求级数通项

解 因为

令 有 根据已知条件可得

解得:

故通项.

例7 已知级数6 27 129 ....各项满足,,求级数通项

解 设 = ①

将代入①式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则，代入①式得②，由及②式得，则，由此可以看出是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故级数通项 .

例8 已知级数1 14 53 各项满足，求级数的通项公式

解 设①

将代入①式得

则

等式两边消去，得

,

解方程组，则，代入①式得

②

由及②式，得

则，故得到数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则级数通项

5 递推法

若已知级数中的前项和递推公式，则可采取递推的方法得到其通项.

例9 已知级数中，并给定递推关系为

解 根据递推公式可知

=

=

假定对于某个下标号码及所有小于的号码来说，公式成立.现在证明它对于也成立.

事实上，

=

=

=

由于公式对于，公式对于任意自然数也正确.

例10 已知数列的递推关系为=4，且，求通项公式

解 依题意得

所以

例11 已知级数2 4 6 中各项满足，求此级数的通项公式

解 因为

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