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摘 要

极限的概念是数学分析中最基本的概念之一，也是高等数学中的一个最重要的理论部分，本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例给出了上、下极限在极限运算以及后续教程中的作用。

关键词：上极限，下极限，数列

Abstract：The concept of limit is one of the most basic concepts in mathematical analysis. It is also one of the most important theories of higher mathematics. This paper summarizes the concept of the limit superior and the limit inferior, as well as its isotonity, the property of keep the inequality, and some properties when it is applied in arithmetic. The paper also illustrates the function of the limit superior and the limit inferior in the limit operation and the subsequent tutorial.

Keywords： on the limit, the limit , series

目录

1 前言 5

2 函数上、下极限的概念 5

3 函数上、下极限的性质 5

4 函数上、下极限的应用 7

4.1函数上、下极限在极限运算中的应用 7

4.2函数上、下极限在后续教程中的应用 8

4.3 函数上、下极限在数列敛散性中的应用 10

结 论 12

参 考 文 献 13

致 谢 14

1 前言

极限的概念可以追溯到魏晋时期的数学家首创的“割圆术”，设有一半径为1的圆在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为，再作内接正十二边形，其面积记为，内接二十四边形的面积记为，如此将边数加倍，当无限增大时无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式 1lt;lt; 2[( 1)-](=1，2，3...)得到圆周率为3927/1250约等于3.14159265......本文介绍了函数上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例给出了上、下极限在极限运算以及后续教程中的作用。

2 函数上、下极限的概念

设函数大于某一正数时有定义，若存在常数，对于任意εgt;0，总存在正整数，使得当gt;时，lt;ε成立，那么称A是函数在无穷大处的极限。

与数列情形类似,可以证明子极限必有最大者与最小者,分别称作上极限与下极限记为以及.同样有存在且仅当

定义1 设是一个实数，若对,有无穷多个使得,同时至多有有限个使得,数称为数列的上极限,记作. 若对,有无穷多个可以使得,同时至多有有限个使得,数称为数列的下极限,记作 .

3 函数上、下极限的性质

性质1 （保序性）：

性质2（控制性质）： 若为的子列,则有

性质3 (保不等式性)：设数列和是两个有界数列且有,使当时,有则,.

注1 若有(常数),则有;若有,则有.

注2 若为常数,又存在,时有则.）

性质4（符号性质） ,.

性质5（符号性质）（1）若,则,.

（2）若,则,.

性质6 若为有界递增数列,则

性质7 加减运算性质 若,为有界数列,则：

（1）

. （2）

注1 不等式（1）和（2）中的严格不等号有可能成立.例如,取,,则有：,,.

.

性质8 (加减运算性质) 若,为有界数列,则

.

性质9 (乘法运算性质) 若,,则：

.

特别地,若与之一收敛时取等号.

性质10（倒数运算性质）若,则.

推论 若,,且则数列收敛.

4 函数上、下极限的应用

4.1函数上、下极限在极限运算中的应用

例1 已知,求证.

分析 这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误:

由于对任意,存在,当时,有,所以

(3)

令,得到

.

再由的任意性得到

.

错误是预先认定了极限的存在.

如果应用上、下极限,就可绕开极限是否存在这个问题.

证 由（3）,令,得到

,

再由的任意性得到

.

于是推得

.

类似上述过程,不少书中直接写为:“令,（4.1）式的左右两边分别趋于和.”由于的任意性可得

.

例2 设,定义试证 .

证 易得到.因而与存在,而且.

由此可得到,令则.

故单调递减.在中取上限可得

,

所以有,故,因而存在,在中取极限,可得出

.

例3 设,求,.

解 据函数的有界性可知,任何子极限都介于 -1和1之间.

选取数列则.若选取

则

因此可知

,.

所以证明任何介于之间的实数都是时的子极限.

4.2函数上、下极限在后续教程中的应用

引入上、下极限的概念在一些后续课程中也有很大的作用.特别是在实变函数的教学中.如大家所知,关于积分有三大收敛定理,其中引理的表述就要用到上、下极限的概念. 如果在教学中没有预先引进下极限的概念,理论在这里就将是无法处理的.

定理1（引理） 若是可测集上非负可测函数列,则

.

证 非负函数显然有

,,

而且

,.

由定理得

　　　　　　　　　　　　　.

注1 定理 设是可测集上的非负可测函数列,满足

,

且有,,则.

注2 由引理推导控制收敛定理时,上、下极限的作用也是不可替代的,最后必须由不等式

.

可推出

．

上、下极限的概念的引入在测度论中也有很重要的作用.

定理2 设集列是单调增加的可测集列,,则

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