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摘 要

关键词：不等式，证明，推广，应用

Abstract: At the first of this paper, the author discusses the introduction of inequality on the basis of summarizing predecessors" research achievements. Then this paper emphasizes on probing into the proof and promotion of cauchy inequality, average inequality and Young inequality proof, it also gives some related applications.

Key words: Inequality, proof, extension, application

目 录

1 引言 4

2 Cauchy不等式的证明与推广 4

2.1 Cauchy不等式的形式 4

2.2 Cauchy不等式的证明 5

2.2.1 二维形式和三角形式的证明 5

2.2.2 向量和积分形式的证明 6

2.2.3 一般形式的证明 6

2.3 Cauchy不等式的推广 7

2.3.1 Cauchy不等式的推广 7

2.3.2 Cauchy不等式的应用 7

3 均值不等式的证明与推广 9

3.1 均值不等式的形式 9

3.2 均值不等式的证明 10

3.3 均值不等式的推广 11

4 Young不等式的证明与推广 13

4.1 Young不等式的形式 13

4.2 Young不等式的证明 13

4.3 Young不等式的推广 13

结 论 16

参考文献 17

1 引言

对于不等式，相信只要学过数学的人都不会陌生.从小学老师启发性地问可爱的小学生们“两个不同的整数孰大孰小”，到中学著名的定律“三角形的任意两边之和大于第三条边”，到后面我们经常应用的“均值不等式”“绝对值不等式”等，无不在不同学习阶段给学习者留下了深刻印象.

古往今来，许许多多杰出的数学家都对各种不同类型的不等式进行了深入的研究、证明及推广等，发明了很多形式美观、性质独特且应用范围广泛的不等式.如柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在十八世纪研究数学分析中的“流数”问题时得到的.根据历史的角度看来，该不等式应当改称为柯西-布呢雅科福斯基-施哇茨不等式 （Cauchy-Buniakowsky-Schwarz）更有说服力.因为正是他俩各自独立地将该式推广到积分学领域，使得该不等式的实用性和范围达到完善的地步.如今，柯西不等式早已成为我国高中数学教科书的重点内容，在解题中占有十分关键的作用，成为考试热点和难点.同样，我们能容易的从高中数学教材得知均值不等式的最基本的表达式：.其实，它的全部内容为：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一，它的推广和应用也很广泛.另外，Young不等式、伯努利不等式、排序不等式等也相继被数学家们发明和推广，为数学及其他科学的发展做出了重要的贡献！

因此本文通过查阅相关文献，旨在讲述柯西、均值以及Young不等式这几种特殊不等式的形式、证明方法以及推广应用.

2 Cauchy不等式的证明与推广

2.1 Cauchy不等式的形式

柯西不等式是著名数学家柯西(Cauchy)研究数学分析中得到^[1].它在不等式学习中非常重要，是数学研究内容之一^[2].柯西不等式有多种形式，以下进行简要介绍.

1）. 柯西不等式二维形式

二维柯西不等式是我们最熟悉也是运用最广泛的一种形式.它的数学表达式和变形式分别如式2.1和式2.2所示.

， （2.1）

. （2.2）

上述两式中，当且仅当（即）时，等号才能成立.另外，若当且时，则柯西不等式可以退化为如式2.3所示的均值不等式.

. （2.3）

2）.柯西不等式的一般形式及推广式

柯西不等式的一般形式如式2.4所示.

. （2.4）

上式中，等号成立的条件为，或者、中有一个为.

积分形式为

.

概率论形式为

.

由于篇幅限制，还有一些其他的推广式就不一一列举了.

柯西不等式最先也只是一种假设猜想，通过柯西的严谨数学方法得以证明后，随后被推广应用到了微积分高等数学领域，获得了高度的认可.我在参考旧文献资料得到柯西不等式的证明方法、过程以及相关的推广应用.

2.2 Cauchy不等式的证明

2.2.1 二维形式和三角形式的证明

这两种形式的证明相对来说，十分简单.只需将式2.1中不等号左边的式子进行展开，然后变形为的形式，从而很容易得出结论，不等式得证.

而三角形形式的证明相对来说要复杂一点，做推导如下：

,

则有

.

2.2.2 向量和积分形式的证明

1）向量形式的证明

.

2）积分形式的证明

积分形式的证明需要构造一个二次函数，再利用微分来考察函数的单调性，从而使得命题得证.具体步骤如下.

构造一个二次函数为

.

所以该二次函数与轴没有交点，，即

,

因此不等式得证.

2.2.3 一般形式的证明

证 方法一：判别式法

一般形式的证明则需要构造一般形式的矩阵向量来分析.其过程如下

假设，则.其中，.

,

.

因此

.

方法二：数学归纳法

（I）时，，不等式成立.

（II）如果时，不等式成立，则

令

，，，

有

.

（III）时，

.

综上所述，对于任意的正整数，、为常数时，均有式2.4成立.

2.3 Cauchy不等式的推广

柯西不等式是一个重要的不等式，灵活应用可以很轻松处理复杂问题，如不等式和恒等式的证明，求极值等.因此，它的推广和应用十分广泛，且意义重大.

2.3.1 Cauchy不等式的推广

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