论文总字数：7326字

摘 要

关键词：导数；中学数学；应用

Abstract:We has studied the derivative through in recent years college entrance examination test question in the geometry, the elementary function, in the inequality proof process concrete application, thus may use in derivative solution middle school mathematics function questions and so on function general image, monotony, most value.

Keywords: derivative,middle school mathematics,application

目 录

1 引言 4

2 导数的概念 4

3 导数在函数中的实际应用 5

3.1 利用函数的“导数”判断函数的单调性 5

3.2 利用函数的导数求极值和最值问题 6

3.3 利用导数判断函数的奇偶性 9

3.4利用函数的导数判断出单调性质来证明不等式 9

3.5 根据函数导数求出的极值证明不等式 11

3.6 利用导数求切线方程 12

3.7导数在求参数的取值范围中的应用 13

结论 16

参考文献 17

致谢………………………………………………………………………………18

1 引言

在中学数学中，导数越来越显示出其对于解决函数问题的重要性，导数知识和方法的运用，使得很多问题被化复杂为简单.主要体现在判断函数单调性、奇偶性、证明不等式、求曲线上某点的切线等问题上.微分学中重要基础知识之一导数，是研究分析函数问题的重要工具，在求极值中也发挥着重要作用，同时，在学习导数的过程中，使得学生了解数学学科的应用价值，掌握数学的逻辑性和严谨性，培养学生学习数学的兴趣.

2 导数的概念

定义：若函数在处的瞬时变化率为，那么称它为函数在处的导数，记为或即

．

注：(1)函数在点的附近两边有定义时，导数才存在，否则导数不存在．

(2)倘若极限不存在，就称函数为不可导函数．

(3)一般函数在自变量到范围内的平均变化率为，则它的几

何意义：过曲线上的点与点的切线斜率.

(4)若函数在开区间内的每一点都有一个确定的导数，就可以说函数在开区间内是可导的；此时每一个的值，都对应着一个确定的导数,构成一个新的函数，称这个新的函数为他的导数.

例1 用定义法求函数的导数

分析：导数定义为

解：

3 导数在函数中的实际应用

3.1 利用函数的“导数”判断函数的单调性

单调性---函数的重要特征之一，对解决很多实际问题有重要帮助，有时我们对一些函数的单调性不太容易做出判断，我们就可利用该函数的导数进行判断，即

若函数在区间I上是可导的，则有：

1. 若导数时，那么函数在区间I上是单调递增函数．
2. 若导数时，那么称函数在区间I上是单调递减函数．
3. 若导数时，那么在区间I上为常量函数．

简便的判断一个函数的单调性，但是在应用时特别的注意在区间内是在此区间上为单调递增函数的充分而不必要条件．且也是在区间上为单调递减函数的充分而不必要条件．

例2 证明函数 在的区间上为增函数．

分析： 证明一个函数在某个区间上为增函数或减函数，应该证明该函数的导数在此区间上大于“0”还是小于“0”，函数的导数在某个区间上大于“0”或者小于“0”是这个函数在该区间上单调递增或者递减的充分条件．

证明： 因为，

当时时，

所以．

那么所以函数在上是增函数．

例3 求函数的增区间．

分析： 求一个函数的单调区间，应该先判断其导数的正负，如若的导数的区间为I，则的增区间为Ｉ．如若的导数的区间为I，则的减区间为I．如若的导数的区间为I，则在I上为常量函数．

解： 因

即当恒成立时

即当或时

函数在该区间上为增函数

故函数的增区间为.

例4 （2015江苏高考19题）

已知函数,尝试讨论的单调性.

分析： 根据函数的导函数的零点在各个区间的正负号，从而得到函数的单调性.

解： ，令

解得

当a=0时，

所以函数在

同理

当alt;0时，可得.

由在不同的区间上，故考虑因素是不一样的．即侧面的反应出在区间内是在此区间上为单调递增函数的充分不必要条件．同时也是在区间上为单调递减函数的充分条件而不是必要条件．

注： 上面的例子看出利用“导数的性质”可判断出函数的单调性，求出函数的单调增减区间．

3.2 利用函数的导数求极值和最值问题

求函数的最大值、最小值、极值等问题是高中数学中的重难点.且在高考中占有较高的分值，涉及到高中数学知识中的各个方面，往往是需要多种技能技巧来解决这样的问题，且需要选择合理快捷的解决过程与方法．用函数的导数解决这类问题可使解答问题的过程简化，步骤更加清晰明了．注意：函数的极大值极小值，最大值最小值间的区别与联系，“极值”是在某个区间上加以探讨研究的局部性问题，“最值”是在整个区间上的整体性问题．

函数的导数求函数的极值或最值解答问题的步骤：

（1）根据求导的一般法则对该函数求导，即求出导数.

（2）如若函数的导数是等于0,就可以解出该函数的导函数的零点，即是在求

方程的根.

（3）分区间讨论研究,得到函数的单调增区间和单调减区间．

（4）先判断出极值的点，然后求出极值．（（3）（4）检查在

方程的根左右的值的符号，函数在左边为正，右边为负，那么函数在这个根处取

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