论文总字数：7739字

摘 要

关键词：反例，数学教学，作用

Abstract:In this paper, it discusses the wide application of counterexamples in mathematics teaching through specific examples. It discusses the important position and function of the counterexample in mathematics teaching .It is helpful to cultivate the innovative ability of the students.

Keywords:counterexample,mathematics teaching,function

目录

1 引言………………………………………………………………………… 4

2 反例是强化概念的重要工具……………………………………………… 4

2.1 可强化对限制条件的理解……………………………………………… 4

2.2 可帮助学生区分易混淆概念…………………………………………… 5

3 反例是掌握知识的有效手段……………………………………………… 6

3.1 可促进学生对定理的掌握……………………………………………… 7

3.2 可帮助学生辨析命题，揭示错误……………………………………… 8

4 反例是培养能力的有力措施……………………………………………… 10

4.1 可培养学生的创新能力………………………………………………… 10

4.2 可加强学生逆向思维能力……………………………………………… 11

结论 …………………………………………………………………………… 13

参考文献…………………………………………………………………………14

致谢 ……………………………………………………………………………15

1 引言

数学中存在着大量的公式、定理、命题等，它们中有很多都是通过较为抽象的语言去进行叙述的，这就给学生的理解带来了一定的困难.在课堂教学中，正面的例子可以让学生熟悉所学知识，而反例却可以加深学生对于公式定理的理解，从而发挥出它得天独厚的优势.著名的法国数学家费马观察到，，，，于是他提出猜想：任何形如的数都是质数.但在半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5个费马数此反例宣布了费马猜想：“形如的数，时都是素数”不成立，正是这“严密的证明”推动了整个数学向前发展.本文结合具体的实例简单介绍了反例在数学教学中的简单应用，研究了反例在数学教学中的作用，以此来提高教学效果与课堂效率，培养学生的创新能力.

2 反例是强化概念的重要工具

2.1 通过反例教学，可强化对限制条件的理解

数学中存在着大量的概念、公式、法则、定理等等，学生在学习这些知识的时候，往往侧重于记忆它们的结论，而忽略了其中的限制条件及其适用范围，以致于在使用的时候生搬硬套，出现极为严重的错误.对于这些公式、定理、命题等，我们在教学过程中是不提倡学生死记硬背的，必须正确地引导学生掌握它们的本质.因此，教师在授课时，在重点指出它们当中的限制条件、强调它们的应用范围的时候，可以在分析过程中适当地举出一些反例，以突出“限制条件”的重要性，帮助学生更好地把握这些公式、定理、命题.

例1　垂径定理的推论1“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”，试问如果忽略括号里的内容，试判断结论“平分弦的直径垂直于弦”是否正确？如果是，请说明理由；如果不是，请给出反例.

解 如图1所示，构造如下反例，

B

D

C

A

图1

在圆中分别作直径和直径,此时直径和直径互相平分，易发现直径和直径不互相垂直，故“平分弦的直径垂直于弦”是错误的.

在学习垂径定理的推论1时，学生们常常会忽略括号中的限制条件，将它误记为“平分弦的直径垂直于弦”，这样在应用的过程中就会导致错误的产生.这时通过上述反例，让学生主动去发现没有限制条件后的命题是不正确的，就可以在师生共同探讨的情况下及时纠正学生的错误理解，加深学生对垂径定理的认识和对限制条件的理解，避免在今后的学习中再犯同样的错误.

在初中数学中，有着许多的定理，比如三角形全等的其中一个判定定理：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，这个判定定理的限制条件是两边及其夹角对应相等，而学生对于这个限制条件往往会遗漏掉“夹角”二字，将它误记为“两个三角形中，有两条边和其中一边的对角分别对应相等，那么这两个三角形全等”，对此，我们可以列举如下反例.

例2 “有两条边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请给出反例.

B

C

D

A

图2

解 如图2所示，在等腰中，,延长至点，使得,连接,在与中，

由图得不全等于，所以“有两条边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等”不成立.

通过列举出上述反例，让学生亲自体验“”的证明过程，从而推翻这个错误的认识，学会在错误中理解“边角边”的含义，更加深刻地掌握用“”去证明三角形全等的注意点，避免发生类似的低级错误.

2.2 通过反例教学，可帮助学生区分易混淆概念

教学过程中，教师在教授概念时会采用正面阐述的形式，这种方式可以使学生熟悉所学知识，但往往会造成学生对概念中的条件分析得不够深刻，对一些关键性的词语理解不够透彻,学生难以抓住它的本质特征，取而代之的是机械化地去记忆概念、定理的内容和公式的结构.这种方法短期看来是小有成效的，但时间一长，随着所学知识的深入，概念性的知识会越来越多，这时如果遇到概念、定理、公式的内容相近或结构类似时，学生就很容易会陷入困惑，造成理解上的混淆，产生张冠李戴的局面.面对这种情况，及时地运用反例则能够帮助学生消除对于易混淆概念的模糊认识，使他们正确区分某些含义相近、容易引起混淆的概念，理清各概念之间的联系与差异，纠正某些似是而非的错误，从而使学生进一步的认识和把握概念的要素和本质.

例如，无穷大量和无界量的概念有些相似，学生很容易将它们混为一谈，在区分这两个概念时，不少学生以为无穷大量就是无界量，而通过反例可以澄清这一错误认识.

例3 命题“无界一定是无穷大量”是否正确？试判断此命题的真假，如果是真请给出理由；如果是假，请举反例说明.

分析 函数，对无论多大的,总存在

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