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摘 要

本文主要介绍矩阵的秩的性质和应用.首先是在解线性方程组中的应用,其次是矩阵的秩在线性空间及线性变换中的应用,最后是伴随矩阵的秩的应用.对于每一点应用,通过具体的一些例题来加深对这部分知识的理解.

关键词: 矩阵的秩,线性方程组,线性空间,线性变换

Abstract:This paper mainly introduces the properties and applications of the rank of matrix. The first is the application of the solution of linear equations, the second is the application of the rank of matrix in linear space and linear transformation, and finally the application of the rank of the adjoint matrix. For each application, through some specific examples to deepen the understanding of this part of knowledge.

Keywords: Rank of matrix; linear equations; linear space; linear transformation

目 录

1. 引言…………………………………………………………4
2. 矩阵的秩的定义及性质……………………………………4
3. 矩阵的秩的一些应用………………………………………5

3.1矩阵的秩在解线性方程组中的应用………………….....5

3.2矩阵的秩在线性空间及变换中的应用……………….....7

3.3伴随矩阵的秩的应用………………………………….....10

3.4关于矩阵秩应用的例题分析………………………….....11

结论…………………………………………………………….14

参考文献……………………………………………………….15

致谢…………………………………………………………….16

1.引言

矩阵是数学中一个重要的基本概念,是高等代数的一个主要研究对象,在数学应用中具有非常重要的作用,而矩阵的秩又是矩阵的研究及其应用的核心.因此,有必要对矩阵的秩的应用进行深入而全面的探究.本文主要从矩阵的秩在解线性方程组,线性空间及线性变换的应用和伴随矩阵的秩的应用几方面进行讨论.

2.矩阵的秩定义及性质

定义:1,向量组的秩:向量组的极大无关组所含向量的个数.

2,矩阵的列秩:矩阵列向量组的秩. 矩阵的行秩:矩阵行向量组的秩.

3,矩阵的秩的两个等价:

1）矩阵行秩等于矩阵列秩,统称为矩阵的秩.

2）矩阵中最大阶非零子式的阶数称为矩阵的秩.

性质:1,r(A B)≤r(A) r(B),r（A－B）≥r（A)－r（B）.

2,设矩阵A和矩阵B分别是s×n和n×m矩阵,AB=C,C为s×m矩阵, 则r（A） r（B）－n ≤min｛r（A）,r（B）｝.

3,设M=,则r（M）=r（A） r（B）；D=,则r（D）≥r（A） r（B）.

4,设D为s×t矩阵,r（D）=r则D的任意m行组成的矩阵B,有r（B）≥r m－t.

5,r（ABC）≥r（AB） r（BC）－r（B）.

6,若D为列满秩矩阵,S为行满秩矩阵,则r（DS）=r（AS）=r（A）.

7,当r（A）=n时,r（）=n；当r（A）=n－1时,r（)=1；当r（A）lt;n－1 时,r（)=0. 是A的伴随矩阵.

8,若AX=0与BX=0同解,则r（A）=r（B）.

3.矩阵的秩的一些应用

3.1矩阵的秩在解线性方程组中的应用

一般而言,在一个方程组中,含有一个或多个未知数,每个未知数均为一次,我们称为线性方程组.例如以下即为线性方程组:

由这个线性方程组,令:

A= X= b=

则AX=b（其中A为线性方程组的系数矩阵,X为未知数矩阵,b为常数项矩阵）.

已知这个线性方程组的系数矩阵A,则可得到这个线性方程组的增广矩阵:

=

设矩阵A的秩为r,则该矩阵的秩记为r（A）.

我们下面的分析都以这个线性方程组为例.

1）对于判断一个线性方程组有无解,线性方程组有解的充分必要条件为:该线性方程组的系数矩阵与增广矩阵具有相同的秩,即r（A）=r（）.

2）当判断线性方程组有解的情况下,再判断线性方程组解的个数:

当rlt;n时,线性方程组有无穷解.

当r=n时,线性方程组只有唯一解.

矩阵的秩在线性方程组求解的实际应用中,根据线性方程组生成的一般的矩阵形式AX=b,

对解的情况进行判断,总结如下:

第一步,系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等,如果r（A）≠r（）,则可以判定这个线性方程组无解.

第二步,如果r（A）=r（）,则需要进一步判断解的个数:

当r（A）=n时,这个线性方程组只有唯一解；

当r（A）lt;n时,这个线性方程组有无穷解.

注意:当我们得到这个线性方程组只有唯一解时,对解的得出,需要用到高等代数中的其他知识.

例1:求解下列线性方程组

解题思路:先得到线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,再根据矩阵的秩对解的情况进行

判断.

解:

=→

根据增广矩阵和系数矩阵的关系可以得到:

r（A）=r（）=3,而n=4,则rlt;n,所以这个线性方程组有无穷解.

3.2矩阵的秩在线性空间及变换中的应用

3.2.1矩阵的秩在线性空间中的应用

定义1:设V是一个非空集合,P是一个数域.在集合V的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法；这就是说,给出了一个法则,对于V中任意两个元素a和b,在V中都有唯一的一个元素r与它们对应,称为a与b的和,记为r=a b.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法；这就是说,对于数域P中任一数k与V中任一元素a,在V中都有唯一的一个元素q与它们对应,称为k与a的数量乘积,记为q=.如果加法和数量乘法满足下述规则:1）a b=b a ；2）（a b） r=a （b r） ；3）在V中有一个元素0,对于V中任一元素a都有0 a=a；4）对于V中每一个元素a,都有V中的元素b, 使得

a b=0 ；5）1a=a；6）k（）=（）；7）（k l）a= ；8）k（a b）= .（在以上规则中,k l表示数域P中的任意数；a b r表示集合V中任意元素） 那么V称为数域P上的线性空间.

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