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摘 要

本文应用分形几何来描述这种金属腐蚀的不规则性。本文主要介绍了分形理论及其三种计算方法——传统盒维数法、差分盒维数法、三角棱柱法，并对它们在整体腐蚀形貌方面的应用进行了阐述。我们利用软件MATLAB2014a对这三种方法进行编程，求出对应金属腐蚀图像的分形维数，验证了“分维数与人类视觉对图像纹理和粗糙程度的感知是一致的”这一结论。

关键词: 分形，分维数，盒维数法，三角棱柱法

Abstract: In this thesis the author applies fractal geometry to describe the irregularity of metal corrosion. The author introduces the fractal theory with its three algorithms—traditional box dimension method, difference box dimension method and the triangular prism method, and the application of this theory onto the corrosion morphology. The author calculates the fractal dimension of the corresponding metal corrosion, by the three algorithms with MATLAB2014a, and validates the the conclusion—fractal dimension regarding image texture and roughness is consistent with human visual .

Keywords: fractal,fractal dimension,box dimension method,triangular prism method

目 录

1 引言 4

2 分形维数及其计算方法的简单介绍 4

3 计盒维数法 5

3.1 传统盒维数法 5

3.2 差分盒维数法 5

3.3 三角棱柱法 6

4 金属腐蚀图像的数字化处理 6

5 金属腐蚀形貌的分形特征 7

5.1 传统盒维数法求解分维数 7

5.2 差分盒维数法求解分维数 8

5.3 三角棱柱法求解分维数 8

6 结束语 9

参 考 文 献 10

致 谢 11

附件1 12

附件2 13

附件3 14

1 引言

腐蚀是材料在环境作用下逐渐丧失使用功能的一种现象。据统计，在机械工程领域70%以上的结构失效都与腐蚀现象相关。腐蚀损伤机理的研究、量化评价、损伤控制已成为研究热点。

在腐蚀科学与工程中，腐蚀图像包含着大量的腐蚀信息。例如，金属腐蚀图像直观地记录着蚀坑的分布情况、蚀坑形状以及腐蚀的严重程度等丰富的腐蚀信息。对腐蚀图像进行深入的分析，可以从中提取出腐蚀形貌的特征参数，有助于分析腐蚀发生和发展的变化规律，是判别腐蚀类型、分析腐蚀程度、研究腐蚀规律与特征的重要依据。

分形理论是法国数学家Mandelbrot于1968年创立并发展起来的自然几何理论，用以描述欧氏几何以外的复杂对象。自然界中的大多数物体表面具有复杂的、不光滑、不规则的特征，这些貌似随机的复杂对象，在其局部和整体之间往往存在着自相似性，可以用分维数进行描述。金属材料在腐蚀介质中的形貌也是不规则、不光滑、凹凸起伏的，但这种不规则的形貌在一定的尺度范围内具有分形的特征。因此，可以把分形几何这一新的数学工具引入到研究金属腐蚀损伤形貌这一领域，从那些不规则的表面腐蚀特征中提取出结构腐蚀形貌特征-分形维数。

2 分形维数及其计算方法的简单介绍

定量描述自相似分形特征的参数叫做分形维数，本文用到的分形维数是Hausdorff维数。对于任何一个有确定维数的几何体，若用与它相同维数的“尺度”去度量，则可得一确定的数值；若用低于它维数的“尺度”去度量，结果为无穷大；若用高于它维数的“尺度”去度量，结果为零。简单的说，就是把一个几何对象每边放大倍，若它本身成为原来的几何体的倍，则该对象的Hausdorff维数是

.

计算分形维数的公式是

，

式中是小立方体一边的长度,是用此小立方体覆盖被测形体所得的数目，维数公式意味着通过用边长为的小立方体覆盖被测对象来确定分形维数。

估算分形维数的方法基本由以下3步构成：（1）用不同的尺度测量研究对象，并得到相应的测度（周长、面积、体积等）；（2）建立尺度和测度之间的双对数关系，对数据点用最小二乘法进行拟合；（3）估计拟合直线的斜率，即Hausdorff维数。

由于本文研究的是金属腐蚀形貌的分形特征，故此只介绍三维图像的计算方法。图像的三维计算方法有主要有3种——计盒维数法、布朗随机场模型法、地毯覆盖法，本文只详细介绍第一种方法。

3 计盒维数法

盒维数又称计盒维数，是应用最广泛的维数之一，它的普遍应用主要是由于这种维数的数学计算及经验估计相对容易一些。盒维数法是通过盒子覆盖图形再计算盒子数目来估计分形维数的，主要包括盒维数法、差分盒维数法、三棱镜盒维数计算法。

3.1 盒维数法

将像素的原始图像划分为个连续的网格，其中表示图像像素点的数目，则每个网格的边长为。在每个网格上，用边长为的立方体盒子从投影面开始堆砌。将灰值图像想象成一个在三维空间中的分形曲面，统计覆盖该曲面的最小盒子数，则图像区域的分形维数将由下式决定：

，

其中为常数，两边同时取对数得：

，

再用最小二乘法拟合出相对于的斜率，也就是该图像区域的分形维数。

3.2 差分盒维数法

首先将像素的原始图像划分为个连续的网格，其中表示图像像素点的数目，则每个网格的边长为。在每个网格上，用边长为的立方体盒子从投影面开始堆砌。将灰值图像想象成一个在三维空间中的分形曲面，使每个网格的灰度面上的最大灰度和最小灰度分别被包含于序号和的盒子中，则有

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