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摘 要

关键词：高等数学,中学数学,思想方法.

Abstract ：In this paper,we mainly discuss the applications of ideas and methods is advanced mathematics to the mathematical problems in the duty of middle school.Through some concrete examples,we mainly discuss how to use the mathematics knowledge of advanced education.Solving the middle school mathematics problems.The aim is to simplify the difficulties.

Keywords：advanced mathematics ,middle school mathematics,ideas and methods.

目 录

1 前言 4

2 用极限的思想方法解决中学数学问题 4

3 用微分的思想方法解决中学数学问题 6

4 用定积分的思想方法解决中学数学问题 9

5用方程的思想方法解决中学数学问题 11

结论 14

参考文献 15

致谢 16

1.前言

在学习数学的过程当中我们离不开解题,但是解决数学问题本身并不是目的,而是一种手段,一种方法^[1].通过解决数学问题我们可以创造性地体验和学会数学思考方法,从而能提高学生的创造性思维.《中学数学教学大纲》和《中学数学课程标准》都把数学思想方法纳入基础知识的范畴当中,这是加强数学素质教育,实现中学数学教学现代化的重要举措.美籍匈牙利数学家乔治·波利亚说：“不落俗套的数学问题的求解,是真正的创造性工作^[1].”另一方面,在新的初中教材当中我们可以发现其中已经初步渗透了很多高等数学的思想方法,并且当我们运用高等数学的思想方法来解决很多中等数学问题时显得很简洁完美. 对于中学数学新课程的改革,我们首先看到学生数学知识面的扩大和学习数学知识深度的推进,对大学数学的学习有着较好的数学基础.本文介绍了极限、导数、定积分和方程思想,在这个基础上进行严谨、深化.并且主要通过举几个例子来研究高等数学的思想方法在中学数学当中的应用,降低了问题的难度，简化了运算过程.

2.利用极限思想研究中学数学问题

极限思想是利用无限逼近的方式研究变量在无限变化中的趋势的思想.极限思想是高考的核心,尤其是数列的极限经常会当作高考试卷的压轴题.如果能灵活的运用极限的思想,不仅能够优化解题的过程,降低问题的难度,而且对培养学生的创造性思维有很大的帮助.

例1 已知数列中,,且对于任意自然数总有,是否存在实数,b,使得对于任意自然数n恒成立？若存在给出证明,若不存在,说明理由.

分析　解这道题目的一般思路是：按照“从一般到特殊,再从特殊到一般”的思维方法. 先从特定的、具体的实例出发,然后进行探索进而得出问题的结论.经过严格的论证,我们发现这样解题远不如用极限思想显得更加优越、简便.因为这道题有它自身的特殊性,所以我们借用极限思想考虑.

证明 假设这样的,b存在的话,就有,可得,对两边取极限,得 从而我们解得或.

若时,则数列应该是以3为首项,以为公比的等比数列,很显然,不可能对于任意的正整数都满足；

若时,代入,可以求得,此时验证即可得出矛盾.所以,这样的实数 ,b不存在.

在这个题中我们灵活的运用极限简化了运算并且降低了问题的难度.

例2 （2002全国高考理科第22题）设数列满足,

（Ⅰ）当时,求并由此猜想出的一个通项公式；

（Ⅱ）当时,证明对所有的,有

1. ；（2）.

分析 Ⅱ之（2）就是以高等数学中的正项级数的前项和有上界,

级数收敛,故其收敛的速度大于的收敛速度,由此判断比较知必有,即.

解（I）由,得,

由,得,

由,得,

由此猜想的一个通项公式：（）.

（II）（i）用数学归纳法证明

①当时,,不等式成立．

②假设当时不等式成立,即,那么

．

也就是说,当时,.

据①和②,对于所有,有．

（ii）由及（i）,对,有

,

……

,

于是

,,

.

在这题中，我们运用极限的思想，数学归纳的方法降低了解题的技巧性.

3.利用导数（微分）思想方法研究中学数学问题

微积分是一门大学必修的基础课程,它的基础理论和基本的思想方法对于中学数学有着非常重要的指导作用.微积分进入中学教材能够使学生更好地理解函数的性质,更好地掌握微积分所蕴含的基本数学思想方法.一方面可以增进学生对数学的理解和认知,另一方面,可以使得学生的思维能力得到发展,极大地拓展学生解决问题的能力.

不仅如此,在近几年高考数学中对数学运算能力的考察已经从简单的函数关系、几何关系逐渐渗透到了相对比较复杂的导数运算、微分思想的运用加强了对数学能力的考查.并且,此类题目常常以高考压轴题的形式出现在高考试卷当中.我们就以2014年江苏高考卷中的19题为例来说明用微分的思想方法来解决高考常见题型.

例3 （2014年江苏卷）已知函数,其中e是自然对数的底数.

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