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摘 要

本文阐述了数列的基本知识，然后介绍了几种解决数列求和问题的方法，例如错位相减法，倒序相加法，裂项相消法等等。用针对性的例题加以说明，全面地展示了中学数列求和问题的特点。

关键词：数列，求和，化归思想

Abstract: In this article ,we mainly explore the basic knowledge of the sequence and introduce some solutions to sum formula of the sequence ,such as split phase addition dislocation subtraction, reverse phase additive. We explain it by targeted examples and prsesent the features of high school sequence problems roundly.

Keywords: sequencer, summation, transformation thoughts

目 录

1 引言 4

2 数列的基本知识 4

2.1 等差数列和等比数列的概念 4

2.2 等差数列和等比数列的性质 5

3 数列求和的常见方法 7

3.1 基本公式法求解数列前项和 7

3.2 倒序相加法求解数列前项和 8

3.3 错位相减法求解数列前项和 9

3.4 分组求和法求解数列前项和 10

3.5 裂项相消法求解数列前项和 11

3.6 数学归纳法求解数列前项和 13

结论 15

参考文献 16

致谢 17

1 引言

数列求和问题一直是中学数列问题的核心，也是高考测试的重点，在整个数列问题中，具有着重要的地位。数列求和问题主要体现的是化归思想，有利于发展学生的逻辑思维能力，而这种思维能力直接反映学生的学习素质和学习能力。本文主要就数列求和问题列举了几种常见的方法，公式法，倒序相加法，错位相减法，裂项相消法等等。掌握数列的基本性质，将其灵活运用，这些复杂的问题也就迎刃而解了。

2 数列的基本知识

概念是思维的基本单位，数列的概念是学习数列的起点与基础。本章节主要探究等差数列和等比数列的概念以及性质。

2.1 等差数列和等比数列的概念

定义1 ^[1]如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，即： 。

例1已知 是等差数列，它的前9项的和等于前4项的和，若 ，则求的值。

解 由已知条件所知这等差数列的前9项的和等于它的前4项的和。

所以 ，

我们知道，

所以 ，

同理 ，

所以 ，

因为 ，

所以 。

定义2 如果以一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为0的常数，那么这个数列就叫做等比数列，即： 。

例2 一个单调递增的等差数列，前项和为 ，且，成等比数列。，求数列的通项公式。

解 设的公差为，因为是递增数列，

所以，

因为，

由于成等比数列，

所以 ，

所以，

化简得到由于，

因为，

所以，由于，

所以通项公式等于 。

说明：在一个等差数列中，有几项成等比数列，求数列的通项公式。这样类型的题目是很常见的。熟练的运用等差数列和等比数列的定义，将条件所给的每一项用来表示，然后利用条件所给的关系求出首先公差即可。

等差数列的性质和等比数列的性质是等差数列等比数列的概念的拓展。运用等差数列和等比数列的性质往往可以回避对首相和公差或公比的求解，让求和问题得到整体的解决，使运算变得更加快捷。下面我们来看看等差数列和等比数列的性质有哪些？又有怎样的运用？

2.2 等差数列和等比数列的性质

等差数列的性质归纳：

性质1 在等差数列中若都为正整数，且，则。

性质2 等差中项性质，如果成等差数列，那么为与的等差中项，且。

性质3^[2]在等差数列中,为的前项和，成等差数列。

性质4 如果都是等差数列，那么也是等差数列都是实数。

例3 已知 成等差数列，求证 也成等差数列。

分析：证明一组数为等差数列，一方面基础的我们要考虑这组数是否符合等差数列的定义，而最常见方法的是用等差数列的等差中项性质证明。

证明 因为 成等差数列，

所以，

所以 。

下面我们用作差法证明符合等差中项性质。

所以

。

所以，

因此 成等差数列。

例4 在等差数列中，前项和为，已知，则求的值。

分析：这三个数分别相差8由已知条件可以轻松求出公差，再用等差数列性质整体求出。

解 因为，

两式相减：，

所以。

所以 成等差数列。

所以，

所以，

所以。

说明：数列性质的应用可以避免对首相或公差的求解，用整体的思想来解决问题。

等比数列的性质归纳：

性质5 如果都是正整数，且，那么。

性质6等比中项性质，如果成等比数列，那么为与的等比中项，且。

性质7 在一个等比数列中，前项和为，成等比数列。

性质 8 如果 成等比数列，那么 也成等比数列，为实数。

例5 各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，，求的值。

解 已知数列为等比数列且各项均为正数，

所以数列的公比，

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