论文总字数：4836字

摘 要

关键词:行列式 ,性质，解题探究

Abstract: Determinant played an important role in the course of higher mathematics, which is widely used in many fields. Learning how to calculate the determinant is very important. This paper we discussed how to solve the determinant by its definition and properties.

Key words: Determinant, Properties, Problem solving

目 录

1 引言 4

2 行列式的概念 4

2.1 行列式的定义 4

3 行列式的解法探究 5

3.1 一般行列式的解法探究 5

3.1.1定义法 5

3.1.2 化三角形行列式法 6

3.2 几种特殊行列式解法探究 7

3.2.1两条线型行列式的计算 7

3.2.2箭型行列式 7

3.2.3利用范德蒙行列式 8

3.2.4 Hessenberg 型行列式 9

3.2.5降阶法 9

3.2.6加边法计算行列式 10

3.2.7行（列）和相等的行列式 11

总 结 12

参考文献 13

致谢 14

1 引言

行列式是探讨高等代数的重要工具，也为线性代数理论的学习奠定了良好的基础. 在高等代数中，求解行列式是关键，对行列式本身做一些变化则为关键，尤其是行列式的元素是字母的时候更需要做题者懂得相关技巧，这样对行列式进行简化，对其解法进行一定的探究很有必要.

行列式的产生和应用在线性方程组的求解中，现在有着广泛的应用，数学，物理等许多重要工具的工程课程. 行列式实在十七世纪初提出来的，由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，日本数学家关孝和在1683年写了解伏题之法的文献，其意为"解行列式问题的方法"，突出说明行列式的解法的重要性，在书中还提出了行列式的几种简便可行的解法，主要是根据行列式本身的特点对行列式本身进行一些变形，得到简便可行的解法.

对于行列式本身来说，我们可以发现它有两个基本特征. 首先当行列式为三角形行列式时，方法则会简便很多，因此将一个行列式化为三角形行列式则会大大降低行列式的解题难度，更简便的解决与行列式有关的问题.其次是行列式是有递归性的，即一个行列式可以用比它低阶的行列式来表示，所以当看到行列式时，需要观察行列式本身的特点，看是否可以将行列式用比它低阶的行列式来表示，这样可以降低解行列式的难度. 本文也是着力于用这两种方法的思想通过具体的实例来探究并说明行列式的简便解法.

2 行列式的概念

2.1 行列式的定义

行列式有多种定义，这里我们给出如下定义

定义^[1][1] 阶行列式

（1）

等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积

（2）

的代数和，这里是的排列，每一项（2）都按下列规则带有符号：当是偶排列时，（2）带正号；当是奇排列时，（2）带负号，这边的定义可以这样表达

（3）

这里()是的逆序数，表示是对所有的级排列的求和.

根据行列式的定义我们可以有下列性质以及推论.

性质1行列式与他的转置行列式相等.

性质2互换行列式的两行(列)，行列式变号.

推论 若一个行列式中有两行的对应元素相同即元素的列标是相同的，那么次行列式零.

性质3行列式中某行的公共因子,可以将提到行列式外面来.

推论 行列式中有两行(列)元素对应成比例时，该行列式等于零.

性质4行列式具有分行(列)相加性.

推论 如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成个数(为大于2的整数)的和，则此行列式可以写成个行列式的和.

性质5行列式某一行(列)各元素乘以同一个数加到另一行(列)对应元素上，行列式不变.

运用上述定义性质以及推论我们可以简便的计算行列式，下面我们对行列式解法进

行探究.

3 行列式的解法探究

3.1 一般行列式的解法探究

3.1.1定义法

对于行列式中0的个数较多或行列式的阶数较低时，我们通常考虑采用定义法来解题.

例1 计算行列式

解 由行列式定义知，且， 所以的非零项，只能取或，同理由，因而只能取或，又因要求各不相同，故项中至少有一个必须取零，所以.

当然，还有一些行列式的问题可以根据逆序定义法来解决，这样的话，会简便很多，同时可以简化行列式本身，锻炼学习者的综合思维能力.

3.1.2 化三角形行列式法

这种方法一般来说适用于阶数较低的数字行列式，和一些较特殊的字母行列式. 行列式化成上三角形行列式的计算步骤，假如第一行的第一个元素是零，先把第一行(或第一列)和其它任一行(或列)变换位置，使得第一行的第一个元素不是零，接着将第一行每个数都乘以一个数再加到其它的各行，把第一列中除了第一个元素之外的其余元素全化为零，再用一样的方式处理除了第一行加第一列剩下的其他低阶行列式顺序做下去，直到它变成上三角形行列式，那么行列式的值就是主对角线上元素的乘积^[2][2].

例2计算行列式

解 把各行加到第一行

3.2几种特殊行列式解法探究

3.2.1两条线型行列式的计算

一些比较简单的，不是特别复杂的行列式可以直接利用定义法来解决. 但是对于一些比较复杂的双线性行列式，我们一般一眼看不出解题方法，这类行列式解题的可以考虑运用行列式性质做恒等变化，使得行列式中出现比较多的零元素，进而找出解决方法. 如：

例3 计算阶行列式

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