论文总字数：4820字

摘 要

关键词：函数极限 ; 方法 ;技巧

Abstract :In this paper, I use several common solutions to solving problems limit. They are the definition of law, several common methods four arithmetic properties, two important limits and the like. In order to enhance understanding, I choose the more features examples for analysis.

Key words：functional limit , method ,technique

目 录

1 引言 4

2利用函数定义求极限 4

3利用函数的四则运算性质求极限 5

4利用两个重要极限求极限 7

5利用等价无穷小求极限 9

6利用洛必达法则求极限 10

7利用泰勒公式求极限 13

8利用初等变形求极限 14

结论 16

参考文献 17

致谢 18

1 引言

极限的思想是近代数学的一种重要思想，其思想方法贯穿于微积分学的始终，因此极限是微积分学中一个很重要的基本概念之一，是微积分学各种基本概念和运算方式能够建立和应用的基础.而在高等数学中，函数极限的概念十分抽象，极限也应用于高等数学的许多概念和定理中，关于极限的求解方法和极限的理论思想也占据着极其重要的地位.极限计算方法多变且灵活，提醒复杂，若想熟练运用各种解题技巧，并非易事。函数的定义十分抽象，并不是所有函数都能求解，而单单依靠函数本身定义只能求解部分函数的极限.本文就几种常见的求解函数的方法进行总结.

2.利用函数定义求解

一个概念的基础是定义，利用极限定义解题是基本方法，熟练掌握极限定义也有着重要作用.函数当时以为极限，就是当无限增大时，无限趋近于常数,换言之就是，只要足够大，可使任意小，用数学语言来表达，就是下面所呈现的定义.定义：设有函数,是一个常数，如果对于任意给定的正数，总存在一个正数,当时，恒成立，则称当趋于无穷大时，函数以为极限，记作或.注意：定义中的刻画了与的相近程度，是任意选定的，越小，与越接近.一般来说是随而确定的，越小，越大.

例1 证明
证明：对，要使,则，只需,

即，取，即，，当时，定有.

所以得证：.

例2^【1】 用定义证明

证明：，要找正数，使得当时，,因为

，使，有，

则.

，可取，即有，当时

成立

因此

例3 证明

证明：设，.要使不等式

成立.

从不等式，取,所以，

有即.

例4 利用定义证明
证明：，要让不等式2成立，

则，取所以,，,

所以，即.

3．利用函数的四则运算性质求极限

在求解函数极限的时候，每当我们看见以和差积商形式出现的函数时，毫无疑问地会联想到函数的四则运算法则，可是想要运用这些法则，一般都需要对这些函数进行一些形式上的变化和化繁为简，而采用何种变形与化简则要依据题目而定，并对函数进行验证它是否满足极限四则运算的条件.在对函数变形时，往往需要采用一些方法例如分子分母同时约去零因子，分子分母有理化，通分，拆项和变量替换等.

例5 ^[2]求.

解：

.

注：求该类型极限，通常有两类方法，一是分解因式，消去零因子;二是有理化，消去零因子.

例6 计算.
解：当时,

所以

.

注：此题的函数为两个函数之和，并且两个函数对应的极限不存在，因此我们应进行适当的变形，使之成为一个我们了解的函数，便于我们的计算.

例7^【3】 求解.

解：原式

.

.

4．利用两个重要极限求极限

若要使用两个重要极限，或求极限时，对所求函数做一些恰当的变形非常重要，让此函数符合两个重要极限形式，则可使用重要极限理论求解.

例8 计算

解：原式

.

例9^[4]求极限 .

解：原式

注：应用或时要注意四个点：一、带有1;

二、中间是 号; 三、 号后跟无穷小量; 四、指数和 号后面的数要互为倒数.

例10 求下列函数极限

（1）（2）

解：（1）令，所以且当时，.

所以

.

注：应用时要注意两点：一、分子分母为无穷小，即极限为0; 二、分子上取正弦的角必须与分母一样.

（2）使，则 ，且当时，，

所以

.

例11 求解.
解：

.

5利用等价无穷小求极限

等价无穷小代换法是数学分析或高等代数里经常使用的概念之一，恰当的利用等价无穷小代换求极限，可以很大程度上使计算变得更为简单.有限个无穷小的代数和是无穷小，有限个无穷小的积是无穷小，有界函数与无穷小乘是无穷小,用等价无穷小替换求极限常常达到解决问题的效果.

例12 求解.

解：因为，且，

所以原式

,

对于.

例13 求.

解：原式

.

注：解决此类问题要熟练掌握常用的等价无穷小代换.

例14 ^【5】求极限.
解：因为,则，,

则原式.

6用洛必达法则求极限

在求未定式极限的时候，洛必达定律的使用一般具有极佳的效率，然而倘若仅仅使用这一个法则，经常会让计算变得十分繁杂，所以必须要和其他方法一起结合起来，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.在开始求极限以前，首先要核查是否符合或型构型，否则滥用洛必达法则一定会发生错误。当不存在时（不包括情形），就不可以使用洛必达法则，这时就是所谓的洛必达法则不适用，应从其他途径求极限，例如运用泰勒公式求解,若条件满足，洛必达法则可一直反复使用，直到求出极限为止.

例15 求解.

解：原式

.

注：此题将连续性和洛必达法则及无穷小结合运用计算更加简便.

例16 求极限.

解：设

则

,

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