论文总字数：6083字

摘 要

关键词：对称矩阵，对角化，正定性，应用

Abstract：We discuss some properties and theorems of symmetric matrices. We also introduce the symmetric matrix diagonalization, positive definite of symmetric matrix, and some properties of them are proved. Finally, some simple applications of symmetric matrices are proved by examples.

Key words: symmetrical matrix, diagonalization, positive , application.

目 录

1.引言 4

2.对称矩阵 4

2.1对称矩阵的定义 4

2.2对称矩阵的基本性质及简单证明 5

3 对称矩阵对角化的应用 6

3.1对称矩阵对角化的相关理论证明 7

3.2对称矩阵对角化的具体方法和应用举例 8

4对称矩阵的正定性的应用 10

4.1正定对称矩阵的定义 10

4.2对称矩阵正定性的判别 11

结论 16

参考文献 17

1 引言

矩阵是代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。

2 对称矩阵

在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。

2.1 对称矩阵的定义

定义1[^[1]] 设矩阵，记为矩阵的转置.若矩阵满足条件，则称为对称矩阵。由定义知：

（1）对称矩阵必定是方阵。

（2）位于主对角线对称位置上的元素一定对应相等。即，对任意、都成立。对称矩阵一定形如

定义2 形式为的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵。

定义3 若对称矩阵的每一个元素都是实数，则称为实对称矩阵。

定义4 若矩阵满足，则称为反对称矩阵。由定义知：

（1）反对称矩阵一定是方阵。

（2）反对称矩阵的元素满足，当时，，对角线上的元素都为零。反对称矩阵一定形如。

下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论。

2.2 对称矩阵的基本性质及简单证明

性质1[^[2]] 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵。

证： 设、是阶对称矩阵，即,，则：

，

，

。

性质2 设为阶方阵，则，，是对称矩阵。

证： 因为，则是对称矩阵。

因为，则是对称矩阵，同理可证也是对称矩阵。

性质3 设为阶对称矩阵（反对称矩阵），若可逆，则是对称矩阵（反对陈矩阵）。

证 ：（1）因为可逆，，，所以是对称矩阵。

（2）因为可逆，，，则是对称矩阵。

性质4 任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。

证： 设为矩阵，，由性质2易证是对称矩阵，，则是反对称矩阵。

性质5 设为对称矩阵，与是同阶矩阵，则是对称矩阵。

证： 因为,所以是对称矩阵。

性质6 设、都是阶对称矩阵，证明：也对称当且仅当、可交换。

证： 必要性：若为对称矩阵，则，又，，因此，、可交换。

充分性：若，则，为对称矩阵。

根据上面的基本性质，举例巩固。

例1 已知是一个阶对称矩阵,是一个阶反对称矩阵,证明是一个对称矩阵,是一个反对称矩阵。

证：由于,

所以

即,那么为对称矩阵：

即,那么为反对称矩阵。

例2 已知是一个阶对称矩阵,是一个阶反对称矩阵，证明是对称矩阵。

证：由于,

所以

即是对称矩阵。

注：这一类题目比较简单，需要熟练掌握对称矩阵的几个基本性质，并学会运用它。

3 对称矩阵对角化的应用

任意一个阶矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量，那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案。

3.1 对称矩阵对角化的相关理论证明

定理1[^[3]] 实对称矩阵的特征值都是实数。

证： 设是阶实对称阵，是的特征值，是属于的特征向量，于是有.令，其中是的共轭复数，则，考察等式，其左边为，右边为。故=，又因是非零量，故，即是一个实数。

注意，由于实对称矩阵的特征值为实数，所以齐次线性方程组为实系数方程组，由知必有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。此定理的逆命题不成立。

例如，，，均为实数，而不是对称的。

定理2 设是实对称矩，定义线性变换,

（1）

则对任意向量，有或。

证： 只证明后一等式即可。。

定理3 设是实对称矩阵，则中属于的不同特征值的特征向量必正交。

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：6083字