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摘 要

在数学中，不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，它经常被应用到有限维空间．本文首先介绍了不动点的基本概念，拓扑空间中的不动点定理，不动点理论的历史和证明．其次，通过研究近几年高中数学课本中试题的特点，总结利用不动点定理在高考题求解的相关问题和数学分析中的常见问题，例如有关数列方面的递推数列的通项公式，数列的极限和有界性问题，数列的单调性和几种方程的解的存在性唯一性以及隐函数定理等问题．最后，总结上述实例并进行归纳，完成对不动点定理应用的探究．

关键词：不动点定理，数列，解的存在性和唯一性，隐函数定理

Abstract：In mathematics, the fixed point theorem is an important theorem in the topology． It is often applied to the finite dimensional space. This article first introduces the basic concept of fixed point and fixed point theorem of topological space, the history of the fixed point theory and proved. Secondly, by studying the characteristics of the high school mathematics textbook question in recent years, summarized by using the fixed point theorem in the college entrance examination questions to solve related issues and the common problems in mathematical analysis．For example, the formula of the recurrence sequence of the series, the limit of the sequence and the boundedness of the problem, the sequence of the monotone and the existence of solutions of several equations and the existence of the implicit function theorem and so on. Finally, the above examples are summarized and research on the application of fixed point theorem has been completed.

Keywords：fixed point theorem,sequence, the existence and uniqueness of solution, implicit function theorem

目 录

1 前言 2

2 不动点定理 2

2.1 不动点及相关概念 2

2.2 不动点定理及其证明 2

3 不动点定理在数列中的若干应用 2

3.1 求递推数列的通项公式 2

3.2 求数列的极限和有界性 2

3.3 求数列的单调性 2

4 不动点在解的存在与唯一性问题的若干应用 2

4.1 在积分方程中的应用 2

4.2 在微分方程中的应用 2

4.3 在函数方程中的应用 2

5 在隐函数存在性定理的应用 2

结 论 2

参考文献 2

致 谢 2

1 前言

对于不动点理论的研究源于20世纪初，荷兰数学家布劳维在1990年创立了不动点理论^]．在此基础上，美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称之为莱布尼茨不动点理论．1927年，丹麦数学家尼尔森通过研究不动点的个数问题提出了尼尔森数的概念．而我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则进一步推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理^[1~3]．

不动点定理在微分方程，积分方程，代数方程等中都有着极为广泛的应用．函数的不动点理论虽然大部分都是高等数学的内容. 但是近几年来，不少有关不动点理论的知识都在中学数学的解题中有所体现，尤其是在数列通项求解和函数表达式的求解方面.因此，它就自然成为各种数学竞赛和选拔性考试的考察内容之一，尤其在近些年的高考试卷中，对不动点定理的应用越来越频繁.

本文将对不动点理论进行研究讨论,给出应用不动点理论简便解题的结论．本文先是介绍了不动点的定义以及对于不动点理论的理解和证明. 然后,从数列方面对涉及到不动点理论的部分进行探索和研究. 这其中主要包括：求解递推数列的通项公式、判断数列的有界性、单调性、收敛性和求数列极限问题等. 许多例题都是选自高考题和高等数学中的题目. 不动点理论在很多的解题步骤以及数学问题中都有很大的帮助. 熟练地掌握不动点理论和应用，可以使我们用更为简便的方法解决这一复杂问题.

2 不动点定理

2.1 不动点及相关概念

　　定义2.1^[1]不动点：函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数的取值过程中，如果有,使．就称为的一个不动点．

　　对此定义，有两方面的理解：

　　⑴代数意义：若方程有实数根，则有不动点．

　　⑵几何意义：若函数与有交点，则为的不动点．

定义2.2^[4] 度量空间：设是一个集合，．如果对于任何，有

1. （正定性），并且当且仅当；
2. （对称性）；
3. （三角不等式）；

则称是集合的一个度量，偶对是一个度量空间．

定义2.3^[4] 不动点：对于度量空间及的映射，如果存在使，则称为映射的不动点．

定义2.4^[4] 压缩映射：给定，如果对于映射存在常数，，使得对有所的，成立，则称是一个压缩映射．

2.2 不动点定理及其证明

定理2.1^[5] Banach不动点理论：设是一个完备的度量空间，是到其自身的一个压缩映射，那么在中存在唯一的不动点．

证明：首先，证明存在不动点，

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