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摘 要

本文主要介绍了不动点原理以及其在微分方程中的应用，重点介绍了压缩映象原理，Brouwer和Schauder等不动点原理的基本概念及其应用，我们都知道不动点是泛函中的一个理论，是Banach在上世纪二十年代提出的一个理论，这个理论在数学领域有很重要的作用，它与近代数学的许多分支有着紧密的联系，尤其是与微分方程的联系，在微分方程中许多解的存在性问题都可转化某算子的压缩性，这样就使问题变得简单而容易求解，本文通过具体的例子来加以辅助。

关键词：不动点原理，常微分方程，偏微分方程

Abstract：In this paper, we introduc the fixed point theore and its applications in differential equations through the analysis of the compression of the introduction of the mapping principle, Brouwer and Schauder fixed point principle, we all know fixed point is a theory of functional that Banach proposed in the 1920s, the theory has a very important role in mathematics, it has close ties with many branches of modern mathematics, especially with the differential equations, many of the existence of Solutions to problems can be transformed into an operator compression, so the problem becomes simple and easy to solve, this paper focuses through the introduction of partial differential equations does not move the point of principle in the application in the differential equations to be supplemented by specific examples.

Keywords:Fixed Point Theory，Ordinary Differential Equations，Partial Differential Equations

目 录

1 前言 3

2 不动点原理 3

2.1 压缩映像原理 3

2.2 Brouwer不动点原理 3

2.3 Schauder不动点原理 6

3 不动点原理在微分方程中的应用 8

3.1 微分方程 8

3.2 不动点在常微分方程中的应用 9

3.3 不动点在偏微分方程中的应用 10

结 论 13

参 考 文 献 14

致 谢 16

1 前言

不动点理论是关于方程的一种一般理论。数学里到处要解方程,诸如代数程、微分方程、函数方程等等，种类繁多，形式各异。但是它们常能改写成ƒ(x)=x的形状，这里x 是某个适当的空间Χ中的点，ƒ是从Χ到Χ的一个映射，把每一点x移到点ƒ(x)。方程ƒ(x)=x的解恰好就是在ƒ这个影射之下被留在原地不动的点,故称不动点。于是,解方程的问题就化成了找不动点这个几何问题。不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法.不动点原理尤其是压缩映象原理Brouwer与Schauder不动点原理有着极其广泛的应用，尤其是在偏微分方程中，很多问题的解的存在性都可转化为某算子的压缩性。

2 不动点原理

在数学中，不动点定理是一个结果表示函数F在某种特定情况下，至少有一个不动点存在，即至少有一个点x能令函数 F（x）= x。在数学中有很多定理能保证函数在一定的条件下必定有一个或更多的不动点，而在这些最基本的定性结果当中存在不动点及其定理被应用的结果具有非常普遍的价值。

2.1 压缩映射原理

在泛函分析中，习惯把映射特别是线性空间上的映射称为算子，把值域为数集的算子称为泛函，设E是线性赋泛空间，M是E的非空子集，算子T：M→M，如果存在使，则x称是算子T的不动点，在自然科学和工程技术中，常常把求解方程问题转化成求解某个算子的不动点问题，例如求解算子方程Tx=0等价于求解(I-T)x=x，I表示恒等映射，即求算子S=I—T的不动点，不动点是泛函分析的一个十分重要的研究领域。

定义设M是线性赋范空间E的非空子集，映射T：MM，如果存在正数k使得

，

则称T是M上的一个压缩算子或压缩映射，

显然压缩算子是连续的^[1]，

定理，设E是Banach空间，T：E到E是压缩映射则

1. T在E中有唯一的不动点

1. 收敛于^[2]

证因T是压缩映射，故k使

，

,构造迭代序列

则对每个n，有

因此对任意n，pN有

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