论文总字数：8332字

摘 要

：由于缺少必要的技巧来处理离散系统周期解的存在性问题,使得差分方程的周期解的研究发展的比较缓慢, 研究方法相对较少.在这些方法中,临界点理论、重合度理论和环绕定理已经成为处理这类问题的强有力工具. 本文主要应用临界点理论,研究了一类二阶非齐次非线性含参量差分方程周期解的存在性问题.

关键词： 非线性差分方程 , 周期解 , 理论 , 临界点

Abstract: Due to lack the necessary of skills to deal with the existence of periodic solutions of

discrete system, the research methods for the existence of periodic solutions of the discrete system are relatively less. In these methods, the critical point theory, coincidence degree theory and linking theorem has become a powerful tool for dealing with these kinds of problems. The existence of periodic solutions for a class of second order nonhomogeneous nonlinear differential difference equation with parametric is investigated by using of critical point theory in this paper.

Keywords: nonlinear difference equation, periodic solution, Morse theory, critical point

目 录

1 绪论

1.1 问题产生的背景及发展…………………………………………………3

1.2 预备知识…………………………………………………………………3

1.3 差分方程周期解的研究状况……………………………………………4

1.4 本文的主要工作…………………………………………………………5

2 一类二阶非线性差分方程周期解的存在性

2.1 引言………………………………………………………………………6

2.2 变分结构…………………………………………………………………6

2.3 主要结论及其证明………………………………………………………7

3 一类二阶含参量非线性差分方程周期解的存在性……………………9

4 结论………………………………………………………………………12

5 参考文献…………………………………………………………………13

1 绪论

1.1 问题产生的背景及意义

差分方程反映的是关于离散变量的问题,根据题干条件,引入适当的离散量,依据问题的实际性、性质,建立离散量所满足的等量关系式,从而建立差分方程.通过求出方程解或者分析方程解的某些性质（稳定性、振动性、周期性等）,从而把握变量变化规律,再结合其他研究方法,进一步得到方程解的性质.从本质上讲,凡是变量间存在某种递推关系的问题,都涉及到差分方程.目前,差分方程已被广泛应用于研究经济学、生态学、生理学、生物学、天体力学、流体力学、气象学及社会科学等领域.

近年来,关于差分方程的性质,许多学者已经进行了广泛的研究,并取得了一些成果.研究成果涉及了差分方程的许多分支,如稳定性、吸引性、振动性等,但关于差分方程周期解的研究成果还是较少.

在自然界和社会生产活动中经常存在周期性现象,例如：四季变化、单摆运动、光传播规律、生物变化等都与周期性有着紧密的联系.这就要求我们对现象中存在的周期性问题进行系统的研究.有关差分方程周期解的存在性,已经有许多学者应用不同的方法进行了研究, 主要通过临界点理论、乘积空间的环绕定理、重合度理论等.无论是线性还是非线性差分方程,周期解作为重要研究对象,成为许多学者研究的热点,泛函分析理论和其他分析技巧是处理这类问题最重要的方法.

1.2 预备知识与引理

定义1 如果满足=0,则称为的临界点.

定义2 设为实空间,泛函.如果,有界,

蕴含有收敛子列,则称满足条件,简称条件.

引理1（乘积空间上的环绕定理 ）设是空间并带有如下直和分解

, 其中分别是空间的有限子空间,

令 =

=

=

=

和 ,,其中,,,,,

,则称环绕.

定义3 设是的一个临界点且,并且在处有一个关于

的局部环绕,即存在充分小的使得

, 那么 , 也就说是的一个同调非平凡临界点.

引理2设是实可分空间,满足条件,有下界,且有一个同调非平凡的,非极小的临界点,则至少有三个临界点.

1.3差分方程周期解的研究概况

郭志明、庚建设在文献中讨论了二阶差分方程的周期解的存在性与多重性,得到了如下的结果：

定理1.1：假设满足下列条件

假设且存在正整数使得,有

；且;

存在常数,,使得对任意的,有

;

则对任意给定的整数,方程至少存在三个以为周期的周期解,其中至少有两个是非平凡的周期解.

2004年,周展等又把文献中的条件改进,并且推广到高维空间中,得到了如下的结果：

定理1.2：假设满足下列条件

假设且存在正整数使得,有

；且;

存在常数,,满足,

存在常数gt;0,以及,当是偶数时,当是奇数时,满足则方程至少存在三个以为周期的周期解,其中至少有两个是非平凡的周期解.

庚建设等在文献中考虑了一维超二次的二阶自治共轭差分方程- =0 的周期解.在,分别满足不同的条件时,得到如下结果：

定理1.3：假设该差分方程是m周期系统,即,,

且满足如下条件：

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：8332字