论文总字数：8198字

摘 要

积分不等式的证明往往伴随着放缩，技巧性强。虽然这方面的文献不少，但在实际操作中仍有困难。其主要原因是虽然方法众多，但遇到题目时不知道该选择哪一个。本文以口诀的形式讨论什么情况下该用什么方法，而不是单纯列举方法。

关键词：定积分,不等式,可积函数,逼近性质

Abstract：The proof of integral inequality is often accompanied by scaling and skill. Although there are many literature in this field, there are still difficulties in practical operation. The main reason is that although there are many methods, we do not know which one to choose when we encounter problems. In the form of a pithy formula, this article discusses what methods should be used under what circumstances, rather than simply enumerating methods.

Keywords:integral ，inequality，integrable function, approximation property

目录

1　引言……………………………………………………………………6

2　积分不等式口诀总结的框架………………………………………… 7

2.1　口诀一：遇见平方，常用Cauchy-Schwarz不等式………………7

2.2　口诀二：积分号下有导数，常用N-L公式，其次用微分中值定理8

2.3 口诀三：遇到,若括号中比较复杂，则常用Taylor公式将

括号里面的“拿出来”或者使用换元法………………………………12

2.4 口诀四：放缩不当，分区间放缩…………………………………13

2.5 口诀五：遇凹凸，借助相关不等式………………………………15

2.6 口诀六：遇两定积分乘积，常转化为二重积分…………………16

2.7 口诀七：积分号下有积分常常将里面的积分放缩为常数………17

2.8 口诀八：一边需要积分号，而另一边不需要常对其它变量

两边同取分……………………………………………………………… 17

2.9 口诀九：遇“怪异数字”，用分部积分法变形后再放缩试试…18

2.10 口诀十：遇两函数差的积分估值，常用阶梯函数去逼近，在

说明这种方法之前先介绍相关定义及定理………………………………21

结　论………………………………………………………………………23

参　考　文　献……………………………………………………………24

致谢…………………………………………………………………………25

1　引言

积分不等式是考研和竞赛的命题热点，技巧性高，方法众多，很多文章只是列举了有哪些方法，却少有提及什么情况下该用哪几种方法，这导致在遇到实际问题时，一时间找不出正确的方法 。 积分不等式证明方法众多，因此寻找出什么情况下用什么方法的“口诀”有助于证明积分不等式问题。

本文重点总结了几种证明积分不等式的方法，以此来帮助读者更加高效地解决有关积分不等式有关的证明题，更能深入地了解甚至掌握出题人设置的“陷阱”。以此更能有想法去探索数学分析甚至更多科目的内在的“美”。

在 “口诀”的使用中，要注意其合理性。

（1）一道题不一定只属于某一个口诀所提到的情形，也可能是两三个，这时要将几个口诀综合考虑。

（2）我们不能教条化，某道题属于某个口诀提到的情形，但不一定按口诀所说的方法就一定能解决，只能说口诀所提供的方法是值得我们优先去考虑，优先去尝试的方法。

2　积分不等式口诀总结的框架

2.1　口诀一：遇见平方，常用Cauchy-Schwarz不等式

解释：因为含有平方，所以这个不等式与积分的平方密切联系，这也是遇见平方首先应该联想到的。

2.2　口诀二：积分号下有导数，常用N-L公式，其次用微分中值定理

碰到类似于 、等，即积分号下有导数，此时优先考虑牛顿莱布尼茨公式

常见具体用法：

3. （常常结合拉格朗日定理）

注：利用牛顿莱布尼茨公式，需要注意的选取十分重要，其中可能是区间端点（结合条件）、可能是函数的零点（用于不含常数项）、可能是最值点（最值能产生不等式，便于放缩）、还可能是某个积分的估值（利用积分中值定理）

例2： 设函数在闭区间[ 0,1 ]上连续 可微，且存在c,d使得.

证明：

分析：看到，属于积分号下有导数的情形，我们优先考虑利用牛顿莱布尼茨公式，即

为了构造出不等式左边的，我们先对牛顿莱布尼茨公式两边取绝对值

即

现在对两边取积分

此等式右边出现了“积分号下有积分”，它的变量在积分上限上，若想把它放缩为常数，只要把积分上限放缩为常数

故得，因此有

对比，显然只要有即可

此时注意到题目条件且在闭区间[ 0,1 ]上连续

于是，存在使得， 所以取中的

因此，即

放缩得到，证毕.

例3：设函数在闭区间[ 0,1 ]上满足且连续二阶可导，

证明：

分析：首先看到积分号下有导数与

因此，考虑牛顿莱布尼茨公式，为了出现积分号下有二阶导数的形式，我们联想

因此将加绝对值得

于是，我们有，

即

这个不等式的右边对恒成立

不妨用来代换（这样做的目的是防止和后面的混淆）

因此，要证

只要，且

因为需要尽可能成立，显然左边是一个常数，于是我们让右边最大，才能使得它尽可能成立

故令，其中，显然，此时不等式成立

由于是任意取的，因此，要让尽可能成立，取

此时，我们分两种情况来讨论

若有零点，则的最小值为0，则得证

若无零点，不妨设，即有单调递增

要证，由于，即二者同号

1. 当时，

，得证

1. 若，则，由于单调递增，则

故

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：8198字