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摘 要

数学归纳法是一种比较特殊的数学证明方法,它的主要理论依据来自于皮亚诺提出的自然数的归纳公理或者最小数原理.其主要研究一些问题是与正整数相关的，在高级中学阶段的数学学习中，其一般用于证明方程的成立的问题和数列通项公式成立相关联的问题.数学归纳法按照其在具体题目中使用的不同形式，可分为五种类型.本文我将先阐述其定义，然后证明其存在的合理性,再讨论它在各个方面的相关应用.

关键词：数学归纳法; 斐波那契数列; 均值不等式

Abstract: mathematical induction is a special method to prove the proposition related to the natural number N in mathematics. It is mainly used to study the mathematical problems related to positive integers. In high school mathematics, it is often used to prove the establishment of the equation and the general term of the number series formula. Mathematical induction can be divided into five kinds: the first mathematical induction, the second mathematical induction, backward induction (backward induction), spiral induction, jump induction and so on. In this , I will explain its application in various aspects and the definition.

Keywords：mathematical induction ;Fibonacci sequence ;am-gm inequality

目录

1.序言…………………………………………………………………………4

2.五类常见的数学归纳法……………………………………………………5

2.1五类数学归纳法公理综述……………………………………………… 5

2.2五类数学归纳法公理的证明…………………………………………… 6

3.数学归纳法的应用…………………………………………………………720世纪初分层教学之所以兴起，是由于当时美国面临大量移民儿童的涌入，学生背景各异，水平差距大，给统一教学带来了困难。而在当今社会，人口流动与免试就近入学政策的实行使我们看到了当时美国教学困境的缩影。

3.1第一数学归纳法的应用………………………………………………… 7

3.2第二数学归纳法的应用………………………………………………… 8

3.3倒推归纳法的应用……………………………………………………… 9

3.4跳跃归纳法的应用………………………………………………………10

3.5螺旋归纳法的应用………………………………………………………10

结论……………………………………………………………………………11

参考文献………………………………………………………………………12

1.序言

数学归纳法（Mathematical Induction, MI）一般被用来证明，在整个或者局部的范围内的命题是否成立.在初高中的数学和高等数学中都可以看到它的身影，甚至可以说它贯穿了整个数学体系。数学归纳法在其他方面也有非常广泛的应用，它不只是在数学方面的应用.

事实上,它是一种非常严谨的归纳推理方法,我们不能因为他的名字里存在”归纳”两个字就”以貌取人”，认为它是一种不严谨的证明方法。其实总体上，我们可以说所有的数学证明都是演绎法其中包括数学归纳法.

如果把数学归纳法根据其在特定问题中运用的形式不同分类，我们可以将它分为五种， 分别是：

下述定义中，命题，均是与自然数有关的，这里我就不一一讲述了.

第一数学归纳法^[1]：如果我们要求证是否正确，需要先说明在取的时候，是存在并且正确的（对于我们大多数情况下将其取为或）；然后我们可以设，在（，且）的时候也是正确的；最后我们再说明在的时候, 任然是正确的.根据上面的三步我们就可以得到成立.

第二数学归纳法：如果我们要求证是否正确，我们可以先说明在的时候，是正确的；然后我们可以设在（）的时候，是正确的；接着说明在的时候，我们可以得到也是正确的；由上述的三步我们可以知道是正确的.

倒推归纳法（反向归纳法）：如果我们要说明是否正确，需要先说明对于无穷多的自然数全都是正确的，然后我们设在（）的时候， 是正确的；在此基础上，我们可以得到也是正确的；由此可以得出，是正确的.

跳跃归纳法：如果我们想要说明是正确的，我们可以先假如是正确的;然后我们再设是正确的，接着说明是正确的（）；我们就可以得到是正确的.

螺旋归纳法：如果我们要说明，是正确的；我们要先说明在的时候，是正确的；然后我们可以设（）是正确的，由上面的过程我们可以得到 成立；接着我们再设是正确的，然后我们能得到也正确；这样，我们就可以得到，都成立.

后面我将在本文阐述五种常见的数学归纳法在不同方面的应用.第一数学归纳法在概率论中主要用于研究排列组合的公式.中学数学中最常见的几何题类型之一的题型就是论证题，而第一数学归纳法不失是一种解决这类问题的好方法.对于第二数学归纳法应用，不仅仅可以用在计算行列式，也可以用于证明斐波那契数列的准确性.而对于反向归纳法的经典运用莫过于均值不等式的证明了.对于跳跃归纳法的应用举了一个常见的3分5分的邮资问题.对于螺旋归纳的运用比较经典的还是其在数列方面的运用.

2.五类数学归纳法

2.1关于五类数学归纳法综述

数学归纳法按照其在具体题目中使用的不同形式，可分为下面的五种类型：

下述定义中表示与自然数有关的命题，我就不一一的阐述了.

1.第一数学归纳法：

当时，命题成立（大多数情况下取值为0或1）；

设当时（，且）命题成立；

再证，当时命题成立.

综上，对于一切自然数（），都成立.

2.第二数学归纳法：

当时，成立；

设在时（），成立；

当时，推出成立.

综上，对与一切的自然数（），都成立.

3.倒推归纳法（反向归纳法）：

对于无穷多个自然数成立；　

设当（）时，成立；

并在此基础上，推出成立，

由此可证成立.

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