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摘 要

在初中以及高中阶段，几个常用初等不等式的教学占据极其重要的地位，学习不等式，在数学解题和应用方面作用很大，因此本次研究的目的在于探索几个初高中常用的初等不等式在中学数学学习和数学思考等方面的应用.通过查阅相关文献，参考优秀数学老师意见，研读教材，研究高考数学关于不等式方面的要求和考点，从而论证不等式的价值，掌握几个常用不等式在中学数学学习和数学思考及其应用方面的重要性.

关键词: 初等不等式，高考数学，应用

Abstract:In the middle school and high school stage, the teaching of several commol

Used elementary inequalities occupies a very important position. Learing inequality a

very important role in solving mathematical problems and applying them.Therefore,to

explore the application of several elementary inequalities commonly used in middle to

school mathematics learning and mathematical thinking. By consulting the relevant in

literature, referring to the advice of the excellent mathematics teachers, studying teach

materials and studying the the requirements and test points of the inequalities in the of

mathematics of the college entrance examination, the value of the inequality can to be

proved. The importance of mastering several Common inequalities in Middle Schools

Mathematical thinking and its Application.

Keywords：Elementary inequality, Mathematics of College entrance examination, application

目录

1 前言 4

1.1 不等式的研究发展历史 4

1.2 研究不等式的目的 4

1.3 不等式在中学数学中的重要性 4

2 几个常用初等不等式在中学数学的应用 5

2.1 平均值不等式 5

2.1.1 平均值不等式的表现形式 5

2.1.2 平均值不等式的证明 6

2.1.3 平均值不等式的应用 8

2.2 绝对值不等式 12

2.2.1 绝对值不等式的重要性 12

2.2.2 绝对值不等式的证明 12

2.2.3 绝对值不等式的应用 13

2.3 柯西不等式 14

2.3.1 柯西不等式的两种表现形式： 14

2.3.2 柯西不等式的价值 14

2.3.3 柯西不等式的证明 15

2.3.4 柯西不等式的应用 15

2.4 琴生不等式 17

2.4.1 琴生不等式的基本形式 17

2.4.2 琴生不等式的价值 17

2.4.3 琴生不等式的应用 17

3 教会学生掌握几个常用不等式的应用技巧方法 19

3.1 掌握几个重要的数学思想 19

3.2 认真做题，学会总结 20

3.3 掌握自主，合作，探究的学习方法 20

结论 21

参考文献 22

致谢 23

1 前言

不等式在中学数学学习和数学思考等方面占据很重要的地位，学习几个常用的初等不等式相关知识并运用不等式进行数学思考和解决数学问题十分重要.

1.1不等式的研究发展历史

不等式在国内外的发展已经有了很长的历史了，不等式的研究最先是欧洲人兴起来的，起源于南斯拉夫国家^[1]，后又在其他国家，如德国等一些国家掀起热潮，这段时间内出现了不等式方面的很多著作和数学家.后来二十世纪八十年代，研究不等式的这股热潮来到了中国，国内有不少的数学学者对不等式都有研究，比如李世杰的《不等式探秘》，匡继昌的《常用不等式》等等. 而现如今，不等式在中高考方面的要求也很高，应试教育的现状促使年轻学子必须好好掌握不等式及其应用，然而也是一大难点.因此，研究几个常用初等不等式的应用很有必要.

1.2 研究不等式的目的

不等式作为一种重要的数学模型，用以描述刻画现实世界数量关系，学生从初一阶段便开始学习不等式概念，逐步认识不等式并学会用一元一次不等式来解决实际问题情境中的数学问题^[2]. 学习这些不等式将会为解决函数，方程，实际应用题等提供多样化的解决思路和解决方法.对学习函数，方程等其他方面数学知识上有着极其重要的帮助，同时初高中有着大量的数学题是将不等式与代数，几何，三角函数和应用题相结合，加强各方面知识的联系性^[3].

1.3 不等式在中学数学中的重要性

对于中考高考而言，几个常用的不等式方面的考察也是占据非常重要的一部分，通常与函数，方程，应用题，证明题等等各种题型相结合来进行考察，当组合起来时就会显得尤为复杂，因此学生对于几个常用不等式的应用能力需要进行培养与提高.根据中高考的相关考察要求，以及数学课程标准所提出来的不等式教学目标和教学内容给出的明确规定和要求，对于几个常用的初等不等式的掌握与应用方面需要加强学生的学习与训练.学习不等式可以解决数学问题，更要学会运用相关不等式知识进行数学思考，面对不同类型的数 学题目要教会学生学会选择性地使用不同类型的不等式，从多个角度去思考问题，发展与不等式相关的数学思维，尝试多种解题思路，这对于数学学习与思考是大有裨益也是必不可少的.因此，研究几个常用的初等不等式在中学数学中的应用是很有必要且十分重要的，这对于学生学习数学知识和在解题过程中学会数学思考甚至应对中考高考都是尤为重要且必要的^[4].

2 几个常用初等不等式在中学数学的应用

2.1 平均值不等式

（a,b均为正数）

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