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摘 要

含绝对值的函数是中学数学中一种较为常见的函数，在数学的许多领域中都有着广泛的应用，本文主要总结了含绝对值的函数问题的解题策略，从数形结合、分类讨论、反解系数表示法及导数的求法来探究中学教学中含绝对值的函数问题，研究其解题策略.

关键词：绝对值函数；数形结合；分类讨论

Abstract: The function with absolute value is a common function in middle school mathematics. It has been widely used in many fields of mathematics. In this paper, we mainly summarized the solution strategies of the function problem with absolute value, This paper discusses the function problem of absolute value in middle school teaching from the point of combination of numbers and shapes, discussion of classification, expression of inverse solution coefficient and the solution of derivative, and studies its solution strategy.

Keywords: Absolute value function；combination of numbers and shapes；discussion of classifications

目 录

1 引言………………………………………………………………………………………………4

2 含绝对值的函数问题的解题策略……………………………………………………4

2.1 数形结合………………………………………………………………………………… 4

2.2 分类讨论……………………………………………………………………………… 8

2.3 反客为主运用反解系数求解………………………………………………………12

2.4 导数求法……………………………………………………………………………… 14

结论……………………………………………………………………………………………………17

参考文献…………………………………………………………………………………………… 18

致谢……………………………………………………………………………………………………19

1 引言

函数是数学中的重要概念之一，也是核心和重点，它贯穿于整个高中数学的始终，函数这一板块中孕育着很多数学的思想与方法，函数思想融会贯通于数学中的很多知识点，其涉及的范围是极为的广泛，内容的分布是由简单演变到复合，由显演变到隐，从初等到超越函数，然而函数分析方面涉及的范围也很广，探究方式的特点具有多样化，与函数概念有关的问题探究也非常丰富，特别是函数问题应用方面的研究，因此本来抽象的函数问题得以具体化，有助于促进函数的研究^[1]. 其中，含绝对值的函数问题由于其讨论复杂、处理困难、灵活多变的特点成为一大难题，问题具有命题立意新颖、思维方式抽象、较为灵活的解题方法、综合应用性强等特点，本文主要讨论形如和的函数的解题策略.

1. 含绝对值的函数问题的解题策略

2.1 数形结合

华罗庚教授曾经说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合千般好，隔离分家万事休^[2].”利用数形结合的思想解题，有事半功倍的效果，简洁明快之感.

例1^[3]作出和图像，讨论其性质.

解 ⑴的图象如图1.

由图知， 的对称轴为轴，所以是偶函数；且周期是；在区间上递增；在闭区间上递减；当时，；当时，，.

图1

⑵的图象如图2.

由图得，的对称轴为，是偶函数；但不是周期函数；当时，在区间、上递增，在区间上递减；当，；当时，，.

图2

例 2^[4] 求函数的单调区间.

解 作出函数的图象如图3，从图中易得到函数的递增区递减区间为.

图3

例4 求方程的解的个数.

解 在同一坐标系中作

及

的图象如图4.

由图可知曲线与曲线有3个交点，即原方程有3个解.

图4

例5 (2014山东高考) 已知方程有两个实根(不相等)，求实数的取值范围.

解 令

，，

因为方程有两实根，所以函数的图象有两个交点. 如图5，当介于与之间时，符合要求，故实数的取值范围是.

图5

例6^[5] 设且，

.

解 图象如图6.

由图知，要使且成立，则，所以，则

，

又所以即

图4

例7^[6] 设方程的两个根分别为，求两根满足的条件.

解 令且， 与的图象如图7，因为的两根是，所

以与交点的横坐标分别为，不妨设，，则有，

，因此，因为，所以，故

图5

利用函数图象讨论含绝对值的方程解的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式，然后在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用运动变化的观点，结合函数图象的极限位置，研究参数的取值范围^[7].

2.2 分类讨论

为了简化绝对值函数的结构和全面掌握绝对值函数的性质特征，经常对其逐一进行分分段研究，或就其所含参数变化引起的各种可能情况进行分类讨论，将数学问题化整为零、化简为繁的解题原则，绝对值函数是培养分类整合、数形结合等重要思想的上佳素材^[8].

例8 (2011南京模拟) 已知.

⑴，有两个不同的正数解，求的取值范围.

⑵，满足:若存在最大(小)值，则最大（小）值与无关，试求的取值范围.

解 ⑴令 ，由得；要使有两个不同的正解，即使有不同且均大于1的两根，则

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