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摘 要

在研究与正整数的有序分拆相关问题时，对某些恒等式和递推关系的证明，常常可以通过建立双射关系来使证明证明过程更加简洁、直接. 在本文中，我们对正整数有序分拆恒等关系的证明给出了组合双射. 通过共轭分拆，得到正整数的有序分拆之间的组合双射. 同时，给出了不包含分部量2的正整数与偶数、奇数的自反有序分拆数的递推关系的组合双射证明.

关键词: 正整数的有序分拆，共轭分拆，自反有序分拆，组合双射

Abstract：When proving some identities and recurrence relations of orderly partition of positive integers, it is often possible to establish bijective relations to make the proof process more concise and direct. In this paper, we studied the combinatorial proof about identity of compositions. And we give two combinatorial bijections about compositions of positive integer by the conjugate of compositions. Using the conjugate of compositions, we prensent combinatorial bijective proofs of the recurrence relation of the self-inverse compositions without 2’s of even , 2’s of odd , and without 2’s of positive integer,respectively. In addition, we also obtain the combinatorial bijection of an idetity relating to the numberof the cmposition without 2’s of positive integer.

Keywords: ordered partition of integers, conjugate partition, reflexively ordered partition, combinatorial bijection

目 录

1 前言 3

2 正整数自反有序分拆中的组合双射证明 4

3 正整数的不包含以2为分部量的有序分拆 5

4 正整数的三类有序分拆间的组合双射 11

参考文献 12

致谢 13

1 前言

在经典的分拆理论中，我们定义了正整数的有序分拆：将正整数拆分为一个个有序的正整数之和，其中，将每一个整数项称为该分拆的分部量.

可以将相同的分部量写作幂的形式，以向量的形式表示有序分拆.

如：3的4个有序分拆：3，2 1，1 2，1 1 1，可将它们记为 对于分部量，将其拆分为排列在一行中的一个个点，上一行的最后一个点与下一行分部量分拆的第一个点对齐. 如文献[1]中所给出的例子：

通过有序分拆的zig-zag graph给出该分拆的共轭分拆，即从左向右读取 zig-zag graph. 在图1中按列读取产生的有序分拆 就是分拆 的共轭分拆，称它们互为共轭. 正整数的任意一个有序分拆通常有两种形式：

这里记为有序分拆C的共轭分拆，如文献[3]中所给出的，与上述两种有序分拆形式相对应的共轭分拆是：

如的共轭分拆是

本文利用正整数有序分拆的共轭关系，给出了正整数自反有序分拆的相关关系式，利用组合双射对正整数的自反的且不包含２为分部量的有序分拆数和、情况的递推关系给出了证明.

2 正整数自反有序分拆中的组合双射证明

定义 一个分拆称之为自反有序分拆，如果对于正整数的一个有序分拆，从左向右和从右向左读取它，结果是相同的.

如：21的一个自反有序分拆：

对于正整数的有序分拆数，有以下的定理：

定理 设 表示正整数的自反有序分拆个数. 则

下面给出这个关系式的组合双射证明.

证明 以大于1的数为首尾分部量的的自反的有序分拆，若分部量的个数为奇数，则中间分部量为偶数，以代替，就可以得到的以大于1的数作为首尾分部量的自反有序分拆. 反过来，的以大于1的数作为首尾分部量的自反有序分拆 ，我们给中间分部量加上1就可以得到 的分部量的个数为奇数，且以大于1的数作为首尾分部量的自反有序分拆. 而对分部量的个数为偶数的分拆，我们先求其共轭分拆，就可以得到的分部量的个数为奇数的自反有序分拆. 事实上，如果假设正整数的有序分拆的分部量的个数为，则其共轭分拆的分部量的个数为. 再将中间分部量减1，即得到的皆以1为首尾分部量的自反有序分拆. 反过来对的任意一以1为首尾分部量的自反有序分拆的中间分部量加上1，就可以得到分部量数为奇数并且以1为首尾分部量的的自反有序分拆，再求其共轭分拆，即得到 的分部量的个数为偶数并且首尾分部量皆大于1的自反有序分拆.

对于以1为首尾分部量的自反有序分拆，将一个以l为首尾分部量的自反有序分中的首尾部分去掉，就得到的自反有序分拆. 反过来也是一样的.

如 ：8的分拆 产生 7的分拆的过程是：

反过来，

3 正整数的不包含以２为分部量的有序分拆

对于不包含以2作为分部量的正整数的有序分拆，记为其分拆数，记为自反的情况下的分拆数.

定理 3.1

首先有以下引理：

引理 分部量２至多在首尾出现一次的正整数的有序分拆数，与正整数的不包含以2为分部量的有序分拆数是相等的.

定理3.1的证明

（1）当时，若不包含以2为分部量的正整数的自反有序分拆有偶数个分部量，则对任一自反有序分拆，以中间相同的２个分部量为准，保留第１个，去掉第２个及其右边的所有分部量，并在右端添上分部量１，即得到的右端分部量为１的不含分部量２的有序分拆. 反过来也一样. 当有奇数个分部量时，此时中间的分部量为大于２的偶数其中将中间分部量除以２，并去掉右边的所有分部量，即得到一个右端分部量为的分拆，再用代替，即得到的右端分部量大于１并且不含分部量２的有序分拆. 反过来也一样. 故

（2）当时，若其中间分部量为３；那么去掉任一分拆的中间及其右边的所有分部量，就可以得到的不包含以2为分部量的有序分拆. 而当以不等于3的数作为中间分部量时，可设为任一分拆的中间分补量，将分部右边的分部量全部去掉，就得到了右端分部量为的新分拆，用 代替，即得到不包含以2为分部量的有序分拆.

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