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摘 要

料，本文整理出整系数多项式有理根的几个定理及求解方法.

关键词：整系数多项式，有理根，求解方法

Abstract：Through the preliminary research of higher algebra, we can find that the problem of factorization of polynomial for integral coefficient polynomial is a special value of research topic in polynomial decomposition. Then we analysis deeply the rational root of integral coefficient polynomial. But the whole research Polynomial coefficients as integers , leading to the relative difficulty of the whole polynomial coefficients would be difficult for many of the conclusions that some of the conclusions of the Integer Polynomial of great significance, these findings The establishment of the whole system is conducive to other conclusions that polynomial. Based on various research literature, the article collects some related theorem and resolutions of rational root of integral coefficient polynomial.

Keywords：integral coefficient polynomial , rational root , method to solve rational root

目 录

前言 4

1 整系数多项式的基本定理 4

2 整系数多项式有理根的几种判别法 4

2.1 整系数多项式有无有理根的两个判别法 5

2.2 整系数多项式最多有个有理根的判别法 7

3 整系数多项式有理根的求解方法 9

3.1有理根求解方法一 9

3.2有理根求解方法二 10

3.2.1第一类 10

3.2.2第二类 13

结 论 14

参 考 文 献 15

致 谢 16

前言

1 整系数多项式的基本定理

定义1^[1] 如果一个多项式 ，其所有系数都是整数，就称此多项式为整系数多项式.

定义2 若一个非零的整系数多项式的系数

定理1.3^[2] 设是一个整系数多项式，有理数是它的一

2 整系数多项式有理根的几种判别法

2.1 整系数多项式有无有理根的两个判别法

定理2.2^[3] 其中，，

3）（i）当时，，且；

2）；

3） 不整除，，为正整数；

则多项式无有理根.

定理2.3^[4] 设 是整系数多项式，其系数满足

1）是质数；

2）

2），且存在某一系数，，满足

1）是质数；

2），存在某一系数，，满足则

2.2 整系数多项式最多有个有理根的判别法

定理2.4^[5] 设整系数多项式其中，若有素数

2）不整除；

3）（i）当时,且 ；

（ii）当时，其中为正整数，， 及；

2）；

3）不整除；

（1）；

（2）.

解 （1） 先分析系数的情况：

其中，为整数.

3 整系数多项式有理根的求解方法

3.1有理根求解方法一

定理3.1^[6] 设既约分数，多项式除整系数多项式 所得的商式为余式为常数，多项式除多项式 所得的商式为，则

（i）为的一个根的充要条件为的各系数都能被整除，并且；

（ii）为的一个根的充要条件是为的一个根；

（iii)当为的一个根时，

.

例 求多项式的有理根.

3.2有理根求解方法二

3.2.1第一类

秦九韶算法^[7]

3）利用定理确定上面得到的是否为有理根.

例^[8] 对求,,,的值.

解 可按照如下方式计算

例^[9] 求的有理根.

解 显然，

由秦九韶算法计算，有

根据前面的定理^[10]，，则，

的有理根可能是：，且必定全为整数

经检验：

而

都是整数，由定理^[11]，计算

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