论文总字数：5207字

摘 要

组合数学是数学中一个既年轻而又古老的重要旁枝，在应用数学、计算机科学技术、理论物理、人工智能等当代高新科学领域内，都拥有着及其广泛的应用前景.而排列组合问题则是研究组合数学绕不开的永恒课题，其中错排问题以及错排数虽说并不复杂，但也是组合数学发展史上的重要一环.鉴此，本次课题研究将着重探讨（1）提出错排问题的具体情境；（2）错排的性质；（3）如何有效解决错排问题；（4）错排在其余科学领域的广泛应用.

关 键 词： 组合数学，错排问题，错排数

Abstract: Combinatorial mathematics, as an important branch of mathematics, which is both old and young, has a broad application prospect in the fields of applied mathematics, artificial intelligence, computer science and technology, theoretical physics and other modern high and new scientific fields. Permutation and combination problem is an eternal subject that can"t be solved in combinatorial mathematics, among which the misplay problem and misplay number, though not complicated, are also an important link in the development history of combinatorial mathematics. In view of this, the author will focus on the discussion in this topic research (1) put forward the specific situation of the misallocation problem; (2) the nature of dislocation; (3) how to effectively solve the problem of misalignment; (4) the widespread application of misalignment in the rest of science.

Keywords: combinatorial mathematics, staggered question, the wrong line number

目录

1.前言 5

2.错排问题提出的具体情境 5

3.错排的性质 5

3.1通项公式 6

3.2几个重要推论 8

4简单例题应用 9

结 论 10

参 考 文 献 11

致 谢 12

1.前言

排列组合是组合数学学习过程中绕不开的永恒课题，在高中阶段，我们已学习了一些基本的排列组合公式以及定理、性质,到了大学阶段，接触到了更深层次的组合数学，我们也了解到了，错排问题也是组合数学发展史上的重要一环.熟练掌握错排的性质以及应用，对于我们数学专业的学生学习数学的其他分支，都有着莫大的帮助.

另一方面，大数据时代已随着21世纪的到来悄然降临到我们身边，大数据在人工智能、计算机科学技术、理论物理等当代高新科学领域以及军事、金融、通讯等行业存在已有时日.那么如何处理这些信息量巨大的数据门呢？我们需要借助组合数学中排列组合的知识来将这些数据，通过某种科学可靠的计算方法来巧妙的加以运用来达到我们的目的.将所有的数字、字母、计算机代码，按照日常生活习惯的顺序排列已经不能满足当今日新月异的新时代.参与排列组合的所有元素都不在原来的位置上，这种数学现象在组合数学中，我们称之为错排问题.实际上，各科学领域对于错排问题以及错排数的研究更感兴趣，鬼斧神工的大自然，也正是由于各种各样的错排，这才形成了我们这个无奇不有的大千世界.所以，对于错排问题以及错排数，还是值得我们，特别是数学专业人员投入大量的时间和精力研究透彻，相信组合数学中错排问题的解决办法，必能成为研究解决其他相邻学科中难题的得力工具.

2.错排问题提出的具体情境

错排问题又可以称作为更列问题，从命名的方式不难看出：一个排列中，所有元素的位置都发生变化，组成一个错误排列，即称之为错排.错排问题具体研究一个已知排列中错排的个数.错排问题的研究由来已久，据考证尼古拉-伯努利和欧拉两位数学家由装信封的生活实际中开始系统研究错排问题，因此现在也有很多人将错排问题称作伯努利-欧拉装错信封的问题，具体描述如下：某人共写了封信,并在个信封上写下了对应的收件人姓名和地址,问：所有信笺都被装错信封的随机情况共有多少种？这个问题还可以概括为更为抽象的数学模型：求个元素的排列，要求在此排列中没有任何一个元素处于它原本应该占有的位置.

由此可见，错排问题不仅仅是组合数学发展史上的重要一环，更是与我们的生活实际息息相关，下面我们将跟随伯努利和欧拉两位伟大数学家的脚步，来探讨错排的性质和应用.

3.错排的性质

错排可以通俗地理解为一个错误的排列，但错排仍属于排列组合的范畴内，要想搞懂错排的相关性质，首先必须熟练掌握排列组合的所有知识点、公式等.而错排的准确的定义就在于必须保证每一个元素都不在自己原来的位置上，如果只是有几个元素不在原位置，则不能叫做错排，这能称之为非完全错排.

3.1通项公式

第一个证明：利用递推关系推导公式，我们首先看一个定理：

定理1：

.

证明：n个已经编号的元素放在n个编号位置上，其中元素本身的编号与位置编号各不对应的方法数用表示，那么就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，其他各不对应的方法数，依次类推.

第一步，把第n个元素放在任意一个位置上，比如位置k，共有n-1种方法;第二步，放编号为k的元素，这时出现两种情况:⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置，剩下个元素就有种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有种方法.

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：5207字