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摘 要

Fourier级数是一种特殊的三角级数，本文给出了Fourier级数在数学解题中的应用，特别是在数项级数求和中的应用，其中Parseval等式在解决数项级数求和的问题中起着至关重要的作用，本文还给出了Fourier级数在证明不等式中的一些应用.

关键词：Fourier级数，级数求和，Parseval等式，递推公式，应用，不等式

Abstract: Fourier series is a special triangular series. This paper gives the application of Fourier series in solving mathematical problems, especially in the summation of several series. Parseval equation plays an important role in solving the summation of several series. This paper also gives some applications of Fourier series in proving inequalities.

Key Words: Fourier series, summation of series, Parseval equation, recurrence formula, application, inequality

目 录

1引言……………………………………………………………………4

2 预备知识………………………………………………………………4

2.1 Fourier级数的收敛定理………………………………………………4

2.2 Parseval等式…………………………………………………………4

2.3 有关Fourier级数的几个重要引理……………………………………4

3 Fourier级数在数学解题中的应用………………………………………7

3.1偶数次-级数的和的递推公式……………………………………7

3.2利用级数法计算………………………………………………13

3.3交错级数和的递推公式……………………………………13

3.4一些杂例……………………………………………………………………14

3.5证明不等式…………………………………………………………16

结论……………………………………………………………………17

参考文献………………………………………………………………18

致谢……………………………………………………………………19

1 引言

Fourier级数作为大学数学中的一个重要知识点,在级数求和、定积分等一些数学问题中有着重要的应用.其中，求数项级数的和是级数理论中的基本问题.在研究Fourier级数在数学解题中的应用之前,首先对Fourier级数的有关理论进行说明.

2 预备知识

本文首先给出一个与Fourier级数有关的收敛定理以及一个重要的等式，根据文献[1]可得以下两个结论.

2.1 Fourier级数的收敛定理

引理1 假设函数在区间 ，且以为周期. 则的Fourier级数在上的每一点处都收敛于在点的左右极限的算术平均值，也就是说

其中为Fourier系数.

2.2 Parseval等式

引理2 设函数及在上黎曼可积，，是的Fourier系数，则等式

成立，三角函数的正交性可以证明该等式，此处省略证明方法.

2.3 有关Fourier级数的几个重要引理

文献[2]-[3]中作者给出了有关Fourier级数的几个重要理论，对其进行说明并推广到后面的结果中.

引理3 设函数的定义域为，且为连续偶函数，在上具有连续的二阶导数，则 的Fourier级数展开为

其中

还有可以表示为

引理4 假设函数以为周期，且它在上的函数解析式为. 如果为偶数情形，则的Fourier系数分别如下

引理 5 令，则当为偶数时，有下列求和的递推公式成立

证明 当为偶数时，由引理4可知，的Fourier级数为

令，则由上式可以得出

即

从而可以得到当为偶数时和的递推式为

（1）

引理6 若为奇数，令，则有下列递推式成立

（2）

证明 由引理4可知，当为偶数时，的Fourier级数为

对上式两边分别关于求导可得

（3）

令，得

当为偶数时，则为奇数.令

从而递推式得证（其中是奇数）.

文献[4]-[7]中作者给出了偶数次以及交错级数的和的递推公式，并且具体说明了如何利用级数法计算特殊的数项级数的和，可以利用这些结论讨论Fourier级数在解题中的一些应用.

3 Fourier级数在数学解题中的应用

是数项级数中非常重要的一类正项级数，对其和的讨论具有一定的研究价值，下面将利用Fourier级数对其进行详细地研究和讨论.

3.1 偶数次p-级数的和的递推公式

根据由引理5中的递推式（1）可以得出

……

于是利用递推式（1）可以彻底解决偶数次级数的求和问题.

除了上述方法还有其他特殊方法来给出以下几个结论：

公式1

证明 将在上展开为Fourier级数，对应的系数为

根据引理2可得

（4）

由Parseval等式有

于是得

另外在（4）中令得

公式2

证明 在上的Fourier系数为

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