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摘 要

本文研究两类随机种群模型的稳定性，包括随机服务-资源互惠模型的持久性和灭绝性以及具有马尔可夫切换的随机蚜虫增长模型的平稳分布问题.对于随机服务-资源互惠模型，建立了模型中每一物种随机持久和灭绝的阈值，揭示了随机干扰对每一物种的持久性和灭绝性的影响.对具有马尔可夫切换的随机蚜虫增长模型，证明了存在一个具有如下性质的阈值：若该阈值是正的，则模型具有唯一的遍历的平稳分布；若该阈值是负的，则模型的零解是稳定的. 此外，本文还基于实际数据给出若干数值图像说明理论结果.

关键词：稳定性，灭绝性，随机干扰，服务资源互惠模型，蚜虫增长模型，平稳分布

Abstract：This thesis investigates the stability of two stochastic population models, including the permanence-extinction of a stochastic service-resource mutualism model and the stationary distribution of a stochastic budworm growth model with regime switching. For stochastic service-resource mutualism model, the threshold between stochastic permanence and extinction for each species is established. The effects of stochastic perturbations on the permanence and extinction of each species are revealed. stochastic budworm growth model with regime switching, it is proven that there is a threshold which has the following properties: if this threshold is positive, then the model has a unique ergodic stationary distribution; if this threshold is negative, then the zero solution of the model is stable. In addition, several numerical simulations based on realistic date are also introduced to illustrate the main results.

Keywords：stability, extinction, stochastic perturbations, service-resource mutualism, budworm growth model, stationary distribution

目 录

1 引言…………………………………………………………………………4

• 1. 研究背景…………………………………………………………………4
  2. 研究现状及存在问题……………………………………………………4
     1. 随机服务-资源型互惠模型的持久性问题……………………………4
     2. 随机混合蚜虫生长模型的平稳分布问题……………………………5
  3. 预备知识…………………………………………………………………5

2 随机服务-资源型互惠模型的持久性………………………………………7

2.1 模型建立…………………………………………………………………7

2.2 全局正解的存在唯一性…………………………………………………7

2.3 模型的持久性……………………………………………………………8

2.4 数值模拟…………………………………………………………………14

2.5 本章小结…………………………………………………………………16

3 随机混合蚜虫生长模型的平稳分布问题…………………………………16

3.1 模型建立…………………………………………………………………16

3.2 全局正解的存在唯一性…………………………………………………17

3.3 模型平稳分布的存在唯一性……………………………………………18

3.4 数值模拟…………………………………………………………………20

3.5 本章小结…………………………………………………………………21

结论………………………………………………………………………………23

参考文献…………………………………………………………………………24

致谢………………………………………………………………………………28

附录………………………………………………………………………………29

1 引言

1.1 研究背景

自然界中生物的生长不可避免地受到环境中随机干扰的影响.英国皇家学会前主席Robert M. May教授^[1]指出，随机干扰不应被忽视，特别是当物种数量较少或随机干扰的强度较大时，仅仅考虑确定性模型会造成与实际数据偏差较大.美国科学院院士、英国皇家学会会士Russell S.Lande教授与合作者^[2]指出，在实践中未充分考虑随机干扰的影响是导致许多物种数量下降甚至濒危的原因之一. 因此，在种群生态学的研究中，应考虑随机因素，以更加准确地揭示现实世界中生物生长的规律、预测其未来发展的趋势.

近年来，随机种群模型特别是其稳定性受到了许多学者的关注.但对于两类重要的模型--服务-资源互惠模型和蚜虫生长模型，还鲜有稳定性研究结果，随机干扰对这两类模型稳定性的影响依然不清楚.

1.2 研究现状及存在问题

1.2.1 随机服务-资源型互惠模型的持久性问题

意味着系统中每个分量均持续生存的持久性，作为一种宽泛意义下的稳定性，是二十世纪七十年代对常微分方程模型提出，后被迅速地推广到离散系统、差分系统以及时滞和偏微分等无穷维系统^[3]. 近年来，持久性的概念也从确定性模型被推广到随机模型，并吸引了越来越多的关注^[4–12].例如，文献^[4]研究了污染环境中的互惠模型的持久性；文献^[5]研究了具有白噪声干扰的竞争系统的持久性；文献^[6]研究了具有Lévy跳的竞争系统的持久性; 文献^[7]研究了具有马尔科夫切换的Lotka-Volterra系统的持久性；文献^[8]研究了n种群互惠系统的持久性；文献^[9]研究了具有部分观测信息的竞争系统的持久性；文献^[10]研究了浮游植物生长模型的持久性；文献^[11]研究了具有脉冲的竞争系统的持久性；文献^[12]研究了具有扩散的单种群模型的持久性.

服务-资源互惠是自然界中的常见关系.这种关系的一种典型例子是蜜蜂和植物.植物提供食物资源--花蜜.蜜蜂在花丛中飞来飞去采集花蜜，然后将其制成食物.当蜜蜂在花丛中飞来飞去时它们给植物授粉.在这个服务-资源型互惠关系中，蜜蜂提供服务并得到食物，植物得以繁殖.动物传播是这种关系的另一个例子：植物为动物提供食物资源（如水果等），而动物提供服务--帮助植物散播种子.

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