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摘 要

关键词：肺结核，污染环境，基本再生数，全局渐近稳定，一致持久性

Abstract：In this paper, we formulate a novel tuberculosis (TB) model with the effects of contaminated environments to study the transmission dynamics of TB. We first define the basic reproduction number R₀ and prove that R₀ can be used to govern the threshold dynamics of the TB model: if R₀lt; 1, the disease-free equilibrium is globally asymptotic stable, while if R₀gt; 1, there is at least one endemic equilibrium and the disease of TB will persist uniformly. Our finding suggests that reducing direct infection rate and indirect infection rate and the frequent cleaning of the environment are effective measures in controlling TB infections.

Keywords: tuberculosis, contaminated environments, basic reproduction number, globally asymptotic stable, uniform persistence

目 录

1 引言 4

2 模型建立 5

3 主要结果 7

3.1基本再生数 8

3.2阈值动力学 9

结 论 13

参 考 文 献 14

致 谢 15

1 引言

肺结核是由结核分枝杆菌（MTB）感染引起^[1]的一种古老的慢性传染病.通常，结核分枝杆菌可以通过空气传播，而肺结核活动性患者会咳嗽，咳痰，说话或打喷嚏等^[2].它是如此之小，以至于正常的气流可以使含有结核分枝杆菌的颗粒悬浮在空气中，并通过房间或一些建筑物运输它们.肺结核可能感染身体的任何部位，但最常见于肺部（称为肺结核）.许多因素可能使人们更容易感染肺结核.另有13％的肺结核患者感染了艾滋病病毒，因此艾滋病毒是全球最重要的危险因素^[3].肺结核与过度饮酒和营养不良密切相关，这使其成为贫困地区的主要疾病之一.因此，高风险人群包括：注射非法药物的人，弱势群体聚集地方的居民和雇员（例如监狱和无家可归者收容所），医疗贫困和资源匮乏的社区，高风险少数民族，与高风险类别患者密切接触的儿童，以及服务于这些患者的卫生保健提供者，包括酒精中毒和糖尿病（增加三倍）.

目前，估计每年发生在发展中国家的肺结核新发病例数约为95％，其中50％以上出现在印度，中国，印度尼西亚，巴基斯坦和菲律宾，其中80％发生在15至59岁之间的人群中.自2000年以来，每年新发病例数量有所减少^[4].

众所周知，数学模型在肺结核控制策略的制定中发挥了关键作用.Waaler等在常微分方程中引入了第一个肺结核的数学模型.最简单的肺结核传播模型包括易感，暴露和感染个体，因此被称为SEI模型.当然，有许多因素包括耐药菌株，快速和缓慢进展，HIV感染，复发，再感染，迁移，治疗，季节性和疫苗接种被纳入研究传播动力学已被许多作者搜索. Dye等提出了一个模型，从两个潜在类别明确快速和缓慢的进展.Ziv等人使用数学模型来预测在高发病率国家新型肺结核疫苗对公共卫生的潜在影响.Porco和Blower将疾病复发的方面纳入了他们的模型中.然后，在一些作者的文章中包括再感染在内的肺结核数学模型，他们假设再感染率是第一次感染率的倍数.

基于上述讨论，在本研究中，我们提出了一种新的受污染环境影响的肺结核模型，以研究肺结核的传播动力学.

本文的其余部分安排如下.该模型在第2节中建立.基本再生数和阈值动力学在第3节中给出.最后，我们陈述了论文的结论.

2 模型的建立

将人群分为四个仓室：易感者，涂阴者，涂阳者以及恢复者，定义总人口数量为

我们进一步认为环境中的肺结核毒浓度为.描述该模型的传播机制如图1所示.

cW

图1:肺结核模型传播机制.

该模型是由五个常微分方程组成的系统：

(2.1)

在初始条件下

模型（2.1）中每个变量和常量的含义如下：•：人口输入率；•：人均自然死亡率；•：个体间直接传染率；•：受污染环境传播影响间接传染率；•：直接传播的肺结核症状传染比例；•：间接传播的肺结核症状传染比例；•: 涂阴结核患者转阳的比率；

•: 涂阴结核患者直接恢复的比率；

•: 涂阳结核患者直接恢复的比率；

•：从恢复到易感的比率；•：与疾病有关的死亡；•：有症状感染者的病毒排出率；•：病毒在环境中的清除率； 为方便起见，让.那么模型（2.1）（2.2）相当于以下系统：

(2.3)

初始条件

以下我们将研究模型（2.3）的动力学行为.

3 主要结果

在本节中，我们将确定模型（2.3）的基本再生数，并给出关于疾病持续性的主要结果. 总人口个体 可以通过以下模型确定：

(3.1)

模型（3.1）具有唯一的平衡，它是全局渐近稳定的.

令

(3.2)

其中

命题3.1. 是模型（2.3）的正不变量.

证明 假设.很容易看出满足

由最大值原理^[5]知， 对于.从模型（2.3）的第三个方程，我们得到了

由于是模型（3.1）的全局渐近稳定，因此存在且

是的

（3.3）

然后我们有

根据比较原则. 完成证明.

3.1 基本再生数

现在我们定义基本再生数.根据文献^[6,7,8]，令成为新感染者的输入率，是个体的转移率，那么

以及

显然，模型（2.3）有无疾病平衡，其中 .

然后

现在我们考虑与模型（3.1）相关的特征值问题，

（3.4）

引理3.2. 问题（3.4）有一个简单特征值与本征特征函数.

根据文献^[6,7,8]，模型（2.3）的基本再生数：

也就是说

（3.5）

其中

表示一个受感染个体在其生命周期中直接进入完全易感人群所产生的继发性感染的平均数量. 表示由病毒在其生命周期中释放到环境中所产生的继发性感染的平均数量.根据的表达式我们有：

因此关于和是单调递增的，关于是单调递减的.

根据文献^[6,7,8]，有如下性质.

引理3.3. 与具有相同的符号.

3.2 阈值动力学

下面我们给出主要结果，这意味着是疾病持久性的阈值指数.

定理3.4.

（i）如果，则模型（2.3）的是全局渐近稳定的.

（ii）如果，则存在，使得模型（2.3）的任何正解满足

证明 通过引理3.3，意味着.对于任何给定的小，我们考虑以下特征值问题：

（3.6）

其中. 从引理 3.2，问题（3.6）具有主特征值具有本征特征值. 由于，我们可以固定一个充分小的，使得.

从（3.3）和模型（2.3）的前三个方程式，我们得到以下模型：

由于，因此存在一些

比较原则意味着

因此，. 然后，的方程是渐近的

和渐近自治半流的理论（参见^[9]），其次

.

因此，第（i）部分被证明.

我们现在考虑的情况.对于任何给定的，我们考虑以下特征值问题

根据引理3.2，问题（3.8）有一个主特征值和本征特征函数.由于

，

我们可以固定一个充分小的使得.假设为了矛盾，模型（2.1）存在一个正解

然后存在充分大的

由于

，

我们可以选择足够小的数，使得

.

注意是以下线性系统的解

根据（3.10）和比较原理

因此，当时，和无界限，这与（3.9）相矛盾.这证明了陈述（ii）.

在下文中，我们试图在时探索模型（2.1）的一致持久性.

定义3.5^[9]（一致持久性）如果存在常数，则模型（2.1）是一致持久的，任何满足初始条件的解满足

令为具有度量的局部紧致度量空间，并且让为的闭合非空子集，其具有边界和内部.显然，是的闭子集.设是在上定义的动力系统.如果，则集合在中是不变的.定义

引理3.6.^[10]假设

（A₁）具有全局吸引子;

（A₂）在上存在成对不相交，紧致且孤立的不变量的，使得

（ⅰ）

（ⅱ）没有的子集在上形成一个循环;

（iii）每个在中也是孤立的;

（ⅳ）每个,，其中是的稳定流形.

那么相对于是一致的持久性的.

在引理3.6中，让

显然，=∂Γ.

定理3.7. 若，模型（2.3）是一致持久的.

证明 在∂上，模型（2.3）等价于

，

其中当时，. 得出结论，对于所有，，这表明的假设（i）和（ii）成立.

如果，则定理3.4中是不稳定的，并且.然后满足的假设（iii）和（vi）.由于模型（2.3）的所有解最终有界性，总是存在全局吸引子，使(成立.

定理3.8. 如果，则模型（2.3）具有唯一的地方病平衡

（3.13）

其中

结 论

在本文中，我们建立了受污染环境影响的肺结核模型，以研究肺结核的传播动力学.根据肺结核流行病学特征和传播机理，我们定义了基本再生数，并证明了可用于控制肺结核模型的阈值动力学：

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