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摘 要

极大极小问题是中学数学的一个重要内容，也是中学数学教学的难点之一.无论是在初中，还是在高中的各种数学试卷中都必然有极大极小问题的身影.所以教会学生如何快速有效的解决中学数学中的极大极小问题就尤为重要.由于中学数学中的极大极小问题往往和函数知识相联系，所以本文先介绍并解读了函数极值和最值的概念，之后从代数，三角，几何这三个方面进行分析中学数学中出现的极大极小问题的各种情况，并给出相应的解题方法和步骤.在解析不同情况的过程中，给出一些实际例题，使学生熟悉解决极大极小问题的一般过程.

关键词： 极大极小问题，极值和最值概念，代数，三角，几何

Abstract： Mini max problem is an important content of middle school mathematics and one of the difficulties in middle school mathematics teaching. Whether in junior high school or in senior high school， there are bound to be minimal problems. Therefore， it is particularly important to teach students how to solve the mini max problems in middle school mathematics quickly and effectively. Because the mini max problem in middle school mathematics is often related to the knowledge of function， this paper first introduces and interprets the concepts of function ext mum and mini max， then analyses the various situations of mini max problem in middle school mathematics from three aspects of algebra， triangle and geometry， and gives the corresponding solving methods and steps. In the process of analyzing different situations， some practical examples are given to familiarize students with the general process of Solving Mini max problems.

Keywords：Mini max Problems， Mini max and Mini max Concepts， Algebra， Trigonometry， Geometry

目 录

1 前言 3

2 函数的极值与最值 3

2.1 极值的概念 3

2.2 最值的概念 3

3 常见函数中的极大极小问题 4

3.1 一次函数 4

3.2 二次函数 4

3.3 高中阶段函数 6

4 三角中的极大极小问题 7

5 几何中的极大极小问题 8

结 论 12

参 考 文 献 13

致 谢 14

1前言

极大极小问题是中学数学的重要知识，它也是生产、科研和日常生活中经常一类特殊的数学问题。所谓“多、快、好、经济”.极大极小问题的一个显著特点是它在现实生活中的适用性和广泛性.许多实际问题的解可以归结为数学中极大极小问题的解.进一步培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，有利于培养学生分析和解决问题的能力.^[8]中学数学教科书中没有单独的章节，但如何解决最小和最大问题与中学数学中的许多知识和方法密切相关.解决中学数学的代数，三角和几何中的极大极小问题时，通常均需先找出问题中变量间的函数关系并列出关系式，然后就所得的关系式加以研究，因此，在解决中学数学中的极大极小问题时，经常是与研究函数的极大值，极小值相联系的.下面我们就来浅谈中学数学中的极大极小问题.^[9]

2 函数的极值与最值

2.1 极值的概念

设函数可导，且在点处连续，判定是极大值或极小值的方法^[1]是:

1. 如果在点附近的左侧 ，右侧，则为极大值；
2. 如果在点附近的左侧 ，右侧，则为极小值；
3. 如果在点附近的左、右两侧导数值同号，那么不是极值.

注：（i）在函数的整个定义域内，函数的极值不一定只有一个；

（ii）极大值与极小值，两者之间没有必然的大小关系；

（iii）导数的零点不一定是极值点（例如：，，但是点（0，0）不是函数的极值点）^[2].

2.2 最值的概念

函数最值的存在性：

在闭区间上连续的函数，在闭区间上必有最大（小）值.

在开区间上连续的函数，在闭区间上未必有最大（小）值，因为当时，函数值未必能取到^[11].

若函数在上连续，在内可导，求在上的最值.则需先求出在内的所有极值，再将各极值与端点处的比较大小，其中最大的一个是在上的最大值，最小的一个是在上的最小值.^[5]

3 常见函数中的极大极小问题

3.1 一次函数

一般来说，一次函数定义在闭区间上的最值情况^[13]有：

1. ，则当时，有；当时，有.
2. ，则当 时，有;当是，有.

例1求下列函数的最值

（1）

（2）

解 （1）因为

所以

所以

所以.

（2）因为

所以

所以

所以.

3.2 二次函数

一般来说，二次函数，定义在闭区间上的最值有：

1. 当时，

如果在闭区间内，当时，.

假设，则.

假设，则.

如果不在闭区间内，假设，则.

假设，则.

1. 当时，

如果在闭区间内，则当时，.

假设，则.

假设，则.

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