论文总字数：6322字

摘 要

多项式因式分解在数学中占据重要的地位.它分解的方法有很多，其中一种主要和行列式结合起来.我们可以将多项式转化为行列式，再通过计算行列式将其表示成多个因式乘积的形式.本文主要探究行列式在多项式因式分解中的应用，因此我将从定义、算法以及应用这三个方面进行阐述.

关键词：行列式，多项式，因式分解

Abstract：Polynomial factorization plays an important role in mathematics. There are many solutions to decompose and one of the mainly solutions is that it can combine with the determinant. We can convert polynomials into determinants, and then express the forms of many factor products through calculating determinants. In this article, I will explore the determinant in the application of the polynomial factorization, and expound three aspects including definition, algorithm and application.

Keywords：determinant, polynomial, factorization

目录

1　引言 4

2　定义 4

2.1　行列式定义 4

2.2　行列式性质 4

2.3　多项式因式分解的定义 5

2.4　行列式与多项式因式分解的关系 7

3　多项式因式分解的算法 7

3.1　多项式因式分解算法 7

3.2　常见的多项式因式分解 7

4　行列式在多项式因式分解中的应用 8

4.1　转化为二阶行列式 8

4.2　转化为三阶行列式 11

4.3　转化为范德蒙行列式 15

4.4　转化为阶行列式 18

总结 20

参　考　文　献 21

致　谢 22

1　引言

多项式的因式分解，尤其对多元多项式分解，是很困难的．在数学中，涉及到分解的方法有很多，其中一种是将其与行列式结合起来．因此本文主要探究行列式在多项式因式分解中的应用，其主要包含如何分解以及两者之间的关系．在本篇论文中，我主要从定义、算法以及应用这三方面进行阐述，并结合一些相关例题，阐明了自己的观点，简单来说，转化为二阶、三阶以及范德蒙行列式的方法最为常见，比较新颖独特．该探讨的过程有利于提高学习兴趣和激发创新思维．

2　定义

2.1　行列式定义

二阶：

称式子为其值或展开式^[1]；

三阶：

称为其值或展开式^[1]；

阶：

称式子为其值或展开式^[1]．

2.2　行列式性质

（1）两行（列）交换位置，其值不变^[1]，即：

（2）提取一行的公因子^[1]，即：

（3）把一行的倍数加到另一行，其值不变^[1]，即：

2.3　多项式因式分解的定义

首先，在学习多项式因式分解的定义前，回顾因式以及既约多项式的定义，这两者为学习多项式因式分解做了很大的铺垫^［2］．

因式：

若数域上的多项式满足

则称和为的因式（比如对于，可以写成的乘积形式，于是便称作是的因式．）

既约多项式：

任一个次多项式在数域上，若可表示成

的形式，那么，，．．．，都是既约多项式．

多项式因式分解：

对于多项式而言，将表示成

形式的过程，称其过程为多项式因式分解（，，．．．，均是既约多项式）

同样判断如何分解，可以运用有理根分解因式，即当时，有因式．

最后，我们可以总结出，其主要涉及两个方面．一是：如何判断可约？二是：若可约，如何分解^［2］？

如何判断可约，分为三种情况讨论：

(1)在复数域内，不仅一次式的多项式是既约多项式而且可以对任何次数均大于1的

多项式都能够进行因式分解；

(2)在实数域内，一般情况下会有某些二次式是既约的，且既约多项式的次数都小于3；

(3)在有理数域内，任何次数高于一次的多项式都有可能是既约的．

例1　对进行分解

解　（1）有理数域内，

　（2）实数域内，由于中，当或均无意义，因此该多项式无法再分解；

（3）复数域内，

例2　对分解

解　令，从而，所以是的一个因式

同理，也是其因式

设

取，，；得出：

所以．

例3 　多项式，由于，所以含有因式．

2.4　行列式与多项式因式分解的关系

因式分解在多项式中的应用，有着举足轻重的地位作用，在整个高等代数中均有应用，能够帮助我们解决某些问题，在初等数学中的高次方程、求根等方面都有着重要的作用．因式分解也称为分解因式，分解的方法较多，都具有较强的技巧性和逻辑性．尤其是对于多项式因式分解，更需要我们多方面探讨．

行列式在高等代数中占据很重要的地位，尤其是行列式的相关性质，是我们学习的基础．高等代数中有关线性方程的部分则可以和行列式与矩阵结合起来，有着紧密的联系．

在本篇论文中，巧妙地将多项式因式分解与行列式结合起来，可以把分解的过程简化．加强了初等代数与高等代数之间的紧密联系．同时，我们也必须掌握如何转化的方法以及注意转化过程的要点,该过程涉及到转化与整体的思想，有利于开拓思维^［3］．

3　多项式因式分解的算法

3.1　多项式因式分解算法

分解多项式的方法有很多，一般用求根法、待定系数法、重因式分离法、矩阵的初等行变化法、行列式性质法以及单位根性质法等，在本篇文章中主要讨论其与行列式之间的关系^［4］．

3.2　常见的多项式因式分解

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）；

（11）；

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