论文总字数：5057字

摘 要

关键词： 矩阵分解，可逆矩阵，正定矩阵

Abstract: In this paper, we summarize three types of the matrix decomposition and the application of them, including equivalent decomposition, orthogonal triangular decomposition and triangular decomposition. Except that, we also introduce other decomposition forms of matrix.

Keywords: matrix decomposition, invertible matrix, positive definite matrix

目 录

1 前言 3

2 预备知识 3

3 矩阵的分解 3

3.1矩阵的等价分解 3

3.2 矩阵的分解 6

3.3 矩阵的三角分解 7

3.4 矩阵的其他分解形式 8

结论 13

参考文献 14

致谢 15

1 前言

由于矩阵不仅表述简洁，便于研究，而且比较适合用计算机语言来进行处理，所以随着计算机技术的不断进步，矩阵理论的重要性也变得更加明显，应用也更加广泛.而矩阵分解是矩阵分析的基本内容，在矩阵论中有着举足轻重的地位，其研究不仅在数学学科，更是在工程科学等领域有着广泛的应用.

矩阵分解是将其表为若干个特殊矩阵的和或者积的形式，这些分解往往能够使矩阵的结构简洁明了并且明显的反映出原矩阵的许多数值特征，比如若分解为三角矩阵，那么其在计算行列式、逆矩阵、以及线性方程组都是十分方便的.此外，一些数值计算的方法的建立也是以构造分解式的过程为理论依据的.很多前人均对矩阵分解做出了一些研究，在文献[1]中介绍了矩阵分解的几种方法，文献[2]中介绍了分解的算法，文献[3,4]中详细的给出了矩阵三角分解的具体计算公式.

本文主要探讨将矩阵分解为矩阵之积的形式，归纳整理了矩阵的常见三大类分解：矩阵的等价分解、矩阵的分解、矩阵的三角分解.除此之外还给出了矩阵的其他部分分解形式.

2 预备知识

文中表示矩阵的秩，表示矩阵的转置.除此之外还有文献[5]中的一些相关定义.

定义1 形如

.

的矩阵称为单位下三角矩阵.

定义2 若，则称是幂等矩阵.

3 矩阵的分解

3.1矩阵的等价分解

定理1^[5] 若，，则，且，使得

.

我们可以称其为矩阵的等价分解，接下来我们利用它可得到如下相关分解.

定理2^[6] （可逆-幂等分解）设，则有矩阵，使得

.

其中且，为幂等矩阵.

例1^[5,7] 证明对且，，使得

.

其中,.

证明 设，则，且，使得

.

记，，则，且是的列满秩矩阵，是的行满秩矩阵.

在代数中通常称这种分解为满秩分解，并且由此题我们也可以发现列满秩和行满秩的等价标准形的形式，进而可以快速的解决下面的例题.

例2 （1）矩阵，，求证，，使.

（2）矩阵，，求证，，使.

证明 （1）由于矩阵，均为列满秩，故，且，使得

故，取即可.

同理可证（2）.

例3 已知是级方阵，证明存在级方阵使得，.

分析 利用等价分解可得到

.

若使，即

.

自然发现取，便有.

同理可得.

利用等价分解还可得到如下矩阵的和分解：

例4 证明且，都可以分解成个秩为的矩阵之和.

证明 因，则，且，使得

.

因的秩为1，故的秩也为1.

下面的例题不是矩阵的某种分解，但需要利用矩阵的等价分解进行解决.

例5 已知是一个秩为的矩阵，求矩阵方程的通解.

分析 我们可以观察到这道关于矩阵的题目中除了告诉了我们矩阵的秩，其他什么条件都没有，此时可以考虑利用矩阵的等价分解来解决.

解 由于，所以存在矩阵，且均可逆，使得

.

代入到就有

因矩阵、可逆，故消去，就有

现在对分块，不妨设，带入上式就有

化简即得

从而有，而，，可以任意取，所以，解出就有

.

其中，，分别是任意的，，矩阵.

例6 已知是一个秩为的级矩阵，，证明为幂等矩阵矩阵与矩阵，且，使.

证明 必要性.由于，所以可以对角化，即存在可逆矩阵使得

令，，则有.

充分性.由可得

.

所以是幂等的.

3.2 矩阵的分解

定理3^[8] 设，，则可分解为

.

其中是正交矩阵，是主对角元为正数的上三角矩阵，且分解唯一.

文献[8]中存在性已证，下面来证唯一性.

不妨设，其中，均为正交阵，，均为主对角元全为正数的上三角矩阵，下证，.

由，得，又

.

所以等式左面的是正交矩阵，而等式右面的仍然是一个上三角矩阵，且主对角元全为正数，所以有

.

即，，这说明分解唯一.

上述矩阵分解实质上是通过施密特正交化过程得到的，称为分解（也称正交三角分解）.

下面我们利用施密特正交化方法来解决一个分解的例题.

例7 求的分解.

解 令

正交化，可得

再单位化，有

从而，可构造满足条件的矩阵和矩阵

则有.

3.3 矩阵的三角分解

本小节中涉及到的实矩阵均为单位下三角矩阵，实矩阵均为上三角矩阵.

定理4^[9] （矩阵的分解）设，若的顺序主子式，则可分解为

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