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摘 要

柯西施瓦茨不等式是高等数学中非常重要的一个不等式，本文利用行列式、简捷证明、第一数学归纳法等证明柯西施瓦兹不等式.并利用具体例题阐述其在求最值、极值证明不等式及平面几何方面的相关问题的应用.此外，本文还给出了柯西施瓦茨不等式的推广及其应用.

关键词：柯西施瓦茨不等式，证明，推广，应用

Abstract: Cauchy Schwartz inequality is a very important inequality in higher algebra. In this paper, Cauchy Schwartz inequality is proved by determinant , concise proof, first mathematical induction.etc. In addition,The application of this method in finding the maximum value, proving the inequality of extreme value and plane geometry is illustrated with specific examples. In addition, some generalizations of Cauchy Schwartz inequality are given.

Keywords: Cauchy-Schwarz-inequality, identification, application, extension

目录

1.引言 3

2. Cauchy-Schwarz不等式 3

2.1 定理 3

2.2 柯西施瓦兹不等式的变形 5

2.3 柯西施瓦兹不等式的应用技巧 7

2.3.1 常数的拆分 7

2.3.2 添项 7

2.3.3 变化结构 9

2.3.4 位置的变换 9

2.3.5 因式的巧嵌 10

2.3.6 柯西施瓦兹不等式的多次应用 10

2.3.7 变量代换的巧用 11

2.4 柯西施瓦兹不等式的应用 12

2.4.1 证明恒等式 12

2.4.2 解方程（组）或解不等式 13

2.4.3 证明不等式 15

2.4.4 证明条件不等式 16

2.4.5 求函数极值 16

2.4.6 在几何上的应用 17

2.5 柯西施瓦兹不等式的推广公式及应用 19

结论 20

参考文献 21

致谢 22

1.引言

在初等数学中我们接触了均值不等式、基本不等式等.高等数学中也有许多重要的不等式.而柯西施瓦兹不等式是不等式的理论基础和基石.对于一些数学问题特别是有关不等式的数学问题，若能适当的应用柯西施瓦兹不等式求解，可以使问题获得相对简洁的解法.本文给出了几种柯西施瓦兹不等式的常见证明方法，有利用行列式、数学归纳法、简捷证明等.此外对于柯西施瓦兹不等式及其推广公式在求解极值问题、解方程问题和几何相关问题的应用给出了具体的例子.

Cauchy-Schwarz不等式

柯西施瓦兹不等式是一个有着广泛应用的重要不等式.因而理解和掌握柯西施瓦兹不等式的内容与证明就显得尤为必要.下面介绍柯西施瓦兹不等式的定理以及几种常见的证明柯西施瓦兹不等式的方法.

1.1 定理

柯西施瓦兹不等式的一般形式为：对于任意实数有

其中当且仅当时成立.

证明一 利用二次型

即关于的二次型非负正定.则有

证明二 数学归纳法

时，，不等式成立；

如果时，不等式成立，令，，，

有

时，

=

==

综上，对于，均

证明三 简捷证明

设

则有

所以即

证明四 行列法

=

=

=

==

==

=.

==

所以,故原不等式成立.

柯西-施瓦兹不等式也叫柯西-布尼雅可夫斯基不等式.

柯西-施瓦兹不等式在复数域中仍旧成立.即：设,是任意复数，则

式的证明，也只涉及了复数的基本知识,下面给出一种证明.

证明一 利用拉格朗日恒等式

事实上，有

=，

将上面两式两端分别相加，移项即得式.

由式立即推出式成立，即有

1.2 柯西施瓦兹不等式的变形

对于柯西施瓦兹不等式形式中可以进行适当的变形替代，由此延伸出来的特例本身就是一些重要的不等式，有许多重要应用.

在式中，用替换,替换,即可得到

式对一切正数成立，当且仅当时，上式可取等号.

由式，得

当且仅当各个全都相等时，上式取等号.式即高中时我们就掌握的：对于任意个正数有他们的调和平均值不大于算术平均值，

在不等式中，若为正实数，令，则有

或

由式立即推得个正数的算数平均值不大于这个数的平方的算数平均值的平方根，即

此外还有两个常见变形公式

设，则当且仅当时等号成立.

证明 令，，又由柯西施瓦兹不等式有

闵科夫斯基不等式

设有

当且仅当时取等号.

证明 将不等式两边平方

将其移项整理得

.

也就是

熟悉掌握这些柯西施瓦兹不等式的常见变形有助于我们快速地解决问题.

1.3 柯西施瓦兹不等式的应用技巧

在一个问题的众多解法当中，利用柯西施瓦兹不等式的方法来解往往是最优的.因此，正确深刻地理解柯西施瓦兹不等式，掌握它的结构特征，对于某些棘手的问题，若能设法创造条件进而能运用柯西施瓦兹不等式，将会使问题的解决解题事半功倍.故而，下面就通过一些具体例题阐述应用柯西施瓦兹不等式解题的一些常用技巧.

1.3.1 常数的拆分

对于一些数学问题，观察题目中给出的常数项，往往对于看上去无法使用柯西施瓦兹不等式的问题，将常数项进行巧妙拆分后变可以出现能够利用柯西施瓦兹不等式的形式.

例1 设为互不相等的正数，求证：

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