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摘 要

本文首先给出特征值与特征向量相关的一些基本概念,在此基础上,给出矩阵特征值性质的两个应用、判别方阵是否与对角矩阵相似、方阵高次幂的简便求法、求数列通项等应用,然后介绍它在其他学科领域的应用,例如生命科学中生物遗传问题、莱斯利种群模型；经济发展与污染问题等,研究结果有具一定的应用价值.

关键词：特征值,特征向量,矩阵,应用

Abstract: First of all, this passage gives some basic concepts of eigenvalue and eigenvector. on this basis, this paper illustrates the application of the two natures of matrix eigenvalues, discriminant whether square matrix is similar to the diagonal matrix, phalanx simple calculation methods for sequence in high power applications such as general term formula, and then introduces the application of it in other disciplines, such as biological genetic problems in life science,Leslie population model and economic development and pollution . In all, the research results have some application value.

Keywords: eigenvalue, eigenvector , matrix, application

目 录

1 前言…………………………………………………………………………………………… 4

2 特征值与特征向量的概述………………………………………………… 4

2.1 特征值与特征向量的定义……………………………………………… 4

2.2 特征值与特征向量的计算……………………………………………… 4

3 特征值与特征向量在数学领域的应用…………………………………… 6

3.1 计算抽象矩阵的行列式…………………………………………………… 6

3.2 矩阵的对角化……………………………………………………………… 6

3.3 方阵高次幂的简便求法…………………………………………………… 8

3.4 用特征值与特征向量求数列的通项…………………………………10

3.5 常系数线性齐次微分方程组的解……………………………………11

4 特征值和特征向量在其他领域的应用……………………………………12

4.1 汽车出租问题………………………………………………………………13

4.2 生物遗传问题………………………………………………………………14

4.3 莱斯利种群模型……………………………………………………………15

4.4 经济发展与环境污染问题………………………………………………18

结论 …………………………………………………………………………………20

参考文献……………………………………………………………………………21

致谢 …………………………………………………………………………………22

1 前言

矩阵是数学领域中非常重要的一个应用工具,在众多领域中有着重要的运用.数学家凯莱首先把矩阵作为一个独立的理论体系提出来,并且他深刻的阐述了矩阵的相关理论,研究矩阵的特征值和特征向量不仅可以帮助我们解决数学问题,而且在现实生活也有着广泛的运用.时至今日,矩阵特征值与特征向量的理论体系已经非常成熟,一些基本的概念、性质、计算以及对角化的知识都比较完善,也是大学理工科学生必须学习的知识点.本文在前人研究的基础上,对特征值和特征向量的相关知识进行系统的整理,概括总结它在我们线性代数学习中有哪些应用,归纳解题方法进行简便计算,最后列举特征值和特征向量在其他领域的一些应用.

本文第二章主要是对特征值与特征向量总的概述.第三章和第四章是本文的核心内容,第三章主要介绍特征值与特征向量在数学代数方面的一些应用,例如矩阵的对角化问题，方阵高次幂的求解，求数列通项公式等.这些知识的理论体系都非常完善,我主要是对有关知识进行归纳和总结,紧接着给出特征值与特征向量在代数运算和求数列通项公式上的运用.第五章介绍特征值与特征向量在其他领域的应用,给出了汽车出租、生态环境、遗传问题、经济发展与环境污染的相关数学模型,具有一定的应用价值.

2 特征值与特征向量的概述

为了更好的研究特征值与特征向量的应用.首先我们需要了解它的定义与计算方法.

2.1 特征值与特征向量的定义

定义1 设,如果存在数和n维非零向量,使得

,

则称数为矩阵A的一个特征值,向量为A的对应于的一个特征向量^[1].

总结：我们从几何上来看,在上述的定义中,表示对非零向量做线性变换；表示对做数乘变换；则表示对于与A对应的线性变换,存在非零向量与它的像共线,只是在同方向或者反方向上做了缩放,决定着缩放的方向和大小.

2.2 特征值与特征向量的计算

根据题目给出的形式,一般我们计算特征值与特征向量主要有两种方法,一种是根据定义法,已知特征向量去求特征值,另一种是给出具体的矩阵,我们用特征多项式求解.分别对应下面的例一和例二.

例1 矩阵,向量是矩阵A的一个特征值,请求出和的值.

分析 题目已经给了我们一个特征向量,此时要求出和的值,只需要代入公式即可求出.

解 当时,即

,

例2 计算矩阵的特征向量.

分析 此题给出了矩阵的具体形式，我们就通过特征方程来求解.

解

特征值分别是

.

对于,由

,

得基础解系为.则特征值的所有特征向量为

,（不全为0）

同理可得对应于特征值的所有特征向量为,.

总结：在计算过程中我们要注意是否有重根,有重根它线性无关的特征向量个数往往不止一个,此外特征值的个数是有限的,而特征向量有无数个,我们可以用常数k表达出所有的特征向量.

3 特征值与特征向量在数学领域的应用

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