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摘 要

本文给出了向量在初等数学中的定义、不等式、空间几何、圆锥曲线,向量是初等数学的重要内容，是一种重要的数学思想,也是一种科学的解题方法.利用向量知识可以使复杂的数学问题简单的解决.

关键词：向量 ；定义；不等式；圆锥曲线；空间几何；

Abstract：In this paper, the definition, property, inequality, space geometry and conic curve of vector in elementary mathematics are given, which is an important content of elementary mathematics, is an important mathematical thought, and is also a scientific way to solve problems.

Keywords：vector；definition;；inequality；conic section；space geometry;

目 录

1 引言 4

2 预备知识 4

3向量在初等数学中实际的运用 5

3.1 向量在定义中实际运用 5

3.2向量在数量积中实际的运用 6

3.3向量在坐标中的运用 7

3.4 向量在圆锥曲线中的运用 8

3.5 向量在不等式中的运用 10

3.6向量在空间几何中的运用 11

结 论 12

参 考 文 献 13

致谢 14

1 引言

向量是代数和几何的一个主要研究对象以及研究理论的工具，解决数学中的诸多理论问题也都需要用到向量理论，就像一个数字的四则运算中的加法、减法、乘法、除法一样. 向量的运算中也有四则运算，只是它有方向有夹角，具有双重性.

现今在很多的高中教材中都只说向量其实就是有大小有方向的量，但实际上并非如此简单. 而应该这样说,在现今的生活中我们遇到的很多向量都有这样几个重要参数：作用点、起点、着力点、大小以及方向,更多的在向量的实际运用问题中会涉及到向量的其他方面的问题,例如在高等数学中向量并不仅仅表示带有大小和方向的量,更多的时候是一个抽象化的量.

向量在高中数学里面有着相当的地位,尤其在涉及到圆锥曲线类型的题目时，向量的良好运用起到了极为关键的作用.而在初等数学解析几何里,分为平面解析几何和空间解析几何两大部分,解决这些问题的关键在于平面向量的应用.

2 预备知识

定义2.1^[1] 不仅有方向还有大小的量叫做向量,向量一般运用……来表现，运用具备有向线段的起点和终点的大写的字母也是进行表示的一种方法,比如：坐标表示法,几何表示法,.向量的大小也就是向量的模(长度),记作||,即向量的大小,记作｜|.向量之间不可以直接进行大小的比较,但是向量的模之间是可以比较大小的．

定义2.2^[2] 向量的起点和终点在轴上的投影为点和点,那么向量就定义为矢量在轴上的投影向量.

定义2.3^[1] 模长度为0的向量,记为，它的方向是任意的，向量与任何向量都是平行的.零向量＝｜｜＝0 然而由于向量的方向是任意的,并且要求平行于任何向量，所以可以知道在有关向量平行（共线）之类的问题里面必须要看清楚能不能有“非零向量”这个条件的存在．

定义2.4^[1] 模长是1个单位长度的向量为单位向量.也就是向量为单位向量.

定义2.5^[1] 方向相同或者相反的向量,将之称为平行向量,写作∥.同时平行向量也被称做共线向量.

定义2.6^[1] 如果有两个向量不共线,那么向量和向量共面的条件是存在实数使.，需要四个点共面，其中.

3向量在初等数学中实际的运用

3.1 向量在定义中实际运用

在公元前五世纪到公元十七世纪之间,初等数学一直持续了两千多年,直到有了高等数学才结束了统治,如今这个时期最明显的结果就是系统的创立了初等数学,也就是当代中小学课本中的我们所学习过的初等代数、算术、初等几何等数学内容,其中向量一般被看作为具有大小和方向的矢量,可以很形象的将其表示为带有一个箭头的线段.则箭头所指的方向代表着向量的方向,线段长度则代表了向量的大小,也就是所说的模长.与向量对应的只有大小,而没有方向的量则叫做数量.

向量的定义中包含了单位向量,零向量,以及平行向量等概念,而具体的问题我们可以运用向量的定义进行解题研究.其次它具有双重身份,不仅在代数还是几何,它的定义都具备丰富性和多用性,通过以下的例题可以更好的加深向量的定义运用.

例1 平面直角坐标系中,已知两点,点在三条边所构成的区域(包括边界)上,而且．

(1)如果，问；

(2)使用,来表示,并且求出的最大值．

分析 求向量的模长需要知向量的大小及夹角,求向量问题时要学会转化,在向量学习中我们一般看到坐标轴就会想到转换成坐标来解决问题.此题是运用向量定义中的模长公式来解决问题,再将向量的数量积转换成向量的线性代数更简便的计算向量的题目.

解 (1)因为，，，所以，

即

.

1. 因为,所以

,

所以两个式子相减,得

.

则让,通过图像可以知,当直线通过点时,取最大值1,所以的最大值为1.

注 这道题虽然说很简单,只是通过点坐标来求向量的模长，但是这是最基本也是最重要的知识点,需要我们牢牢掌握的.这题又运用了数形结合的思想去解第二个问,利用向量坐标对应相等这个条件来列式计算.

3.2向量在数量积中实际的运用

向量的向量积包含内积和数量积,但是初等数学中我们需要掌握的是数量积,它在处理线段长度,垂直等问题时有更优的解决办法,并且在向量积运算答案中是实数而不是向量.特别在数量积中,我们要学会拆分法.

例2 如图所示,在平行四边形中,已知,,，,则的值是________．

分析 求向量的乘积如果直接用定义公式计算是很困难的,所以要学会将向量拆成题目中已知的条件,才能找到解决问题的突破口，因此在本题中我们需要将向量和向量进行拆分,放到已知向量积的向量中,然后得到向量.

解 因为, 所以

,,

即

.

因为,,所以,即

.

例3 假设，是非零向量，，两组的向量和都是通过2个和2个排列而成的，如果所有的可取值中的最小值为，那么和的夹角是什么？

分析 在向量中夹角之类的问题从属于定义里的一种,更是数量积中的一种运用，掌握夹角公式来解决问题,我们可以把点、直线、平面用向量表示，然后利用向量的运算,来解决一系列的夹角问题.此题是运用平面向量的夹角情况进行分类讨论.

解 令,所以可以的取值有3种情况：

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