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摘 要

函数极限是现代数学中一个非常重要的概念，是高等数学的重要内容，掌握求函数极限的方法至关重要. 本文介绍了求函数极限的一些方法，比如通过函数定义求极限，利用泰勒公式，利用洛必达法则等.

关键词:函数极限, 洛必达法则, 泰勒公式

Abstract: Function limit is a very important concept in modern mathematics.It is an important content of Higher Mathematics. It is essential to master the method of finding the limit of the function.This paper find the limit of a dozen methods. There are varlous ways to counting the function limit,such as using the definition of function limit, the Taylor"s formula, the L"Hopital"s rule and so on .

Keywords: functional limit , L"Hopital"s rule ,mothod ,taylor formula

目 录

1 引言 4

2 极限的定义 4

3 求函数极限的方法 4

3.1利用定义求函数极限 4

3.2利用函数极限的四则运算法则求函数极限 5

3.3用两个重要极限求函数极限 6

3.4利用迫敛性求函数极限 7

3.5利用等价无穷小量替换法求函数极限 8

3.6利用洛必达法则求函数极限 9

3.7利用泰勒公式求极限 10

3.8 利用定积分求函数极限 10

3.9利用函数连续性求函数极限 11

3.10利用微分中值定理求函数极限 12

结 论 13

参考文献 14

致 谢 15

1 引言

极限思想是高等数学中非常重要的思想之一，常常通过分析一些变量的极限，根据函数极限的定义研究出了高等数学的一些新概念. 在高等数学与微积分学中，掌握好求函数极限的方法对于我们学习高等数学有着重要的作用. 如果没有极限的思想，数学分析就失去了非常重要的价值，所以掌握好求函数极限的方法特别的重要.

那么我们如何计算函数的极限呢? 相信之前很多人也接触了求函数极限的方法. 在此本文例举了一些求函数极限的方法，其中包括利用函数的定义求函数极限，函数的四则运算法则求函数极限，利用泰勒公式求函数极限等方法结合例题来举例说明如何求解函数极限. 我们知道了求函数极限各种方法，在遇到具体的题目时可以根据我们所掌握的求函数极限的方法更快速有效地解决求函数极限的问题.

2 极限的定义

在微积分学的学习过程中，首先一点就是要理解极限的概念引入的必要性. 人们学习代数，对于代数非常熟悉，但是代数却无法处理我们在计算过程中遇到的无限的概念，为了解决这一问题，利用代数来处理代表无限的量，因此构造了有关极限的这一概念. 高等数学中的许多概念及运算法则都是建立在极限的概念基础之上，在高等数学教学中，要理解函数极限的定义.

在数学分析中有关极限统一的定义:设函数在上有定义，.若,,使，都有，则称函数(当时)以为极限，记作: . 对于如何求函数的极限对于高等数学的研究具有重要的意义，可以说，没有极限的理论就没有微积分.

3 求函数极限的方法

3.1利用定义求函数极限

定义3.1 函数在点的空心邻域内有定义，是一个确定的数，若对于一个任意的正数，存在使得当时，都有，则称趋向于的极限存在，且为，记做，

.

下面说明如何根据定义来求函数极限，这用定义求函数的极限时，需要注意的是如何求出的值，注意和之间关系.

例1证明 .

证明 不妨设.，为使不等式

=

=

=成立，

从不等式，取，于是，有

，

即

.

注 一般我们求是根据确定的，我们还可以把取得更小一些.然而不是所有的题目我们都能通过直观的观察出其极限值，因此用函数极限的定义法求函数极限时我们需要注意，利用函数定义求函数极限只能用来求比较简单的函数极限，不适合用来求解比较复杂的题目.

3.2利用函数极限的四则运算法则求函数极限

定理3.2^[4] 设极限函数, ,则

1. .
2. .
3. ().

注 在运用此方法求极限时，我们要注意这时所求的每个式子极限都必须存在，如，等形式的函数极限都不能直接用函数四则运算法则计算，这时必须对相应的函数极限式子进行变形，并且要消去零因子.

例3 求 .

分析:当自变量时，分子和分母这时都是趋向于0，这时要对分子分母进行适当的化简，之后再运用极限的四则运算法则来计算.

解

(为的零因式)

=.

该题就是将原来的函数分子分母进行因式分解，再利用四则运算法则分别求出分子分母的极限.

3.3用两个重要极限求函数极限

两个重要极限①；②.

1. 利用来求极限.

例4 求.

解 =

=

= =

=

=.

利用求函数极限.

1. 利用来求极限.

例4 求 .

解 因为，，

所以此极限通过变形整理后，可以得到

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