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摘 要

运用反例是数学解题中常用的一种重要而有效的方法.本文在介绍了反例的定义以及运用反例的目的基础上,以反例在中学数学中的一些应用为起点,总结了反例在中学教学中所起到的一些作用.

关键词：反例,中学数学,构造,作用

Abstract：Using counterexample is an important and effective method in mathematical problem solving. In this paper, on the basis of introducing the definition of counterexample and the purpose of using counterexample, starting with some applications of counterexample in middle school mathematics, some functions of counterexample in middle school teaching were summarized.

Keywords：counterexample, middle school mathematics, construction, function

目 录

1 引言...........................................................4

2 数学反例的定义.................................................4

3 运用反例的目的.................................................5

4 反例在中学数学教学中的作用.....................................6

4.1 反例是深化概念教学的有效手段.................................6

4.2 反例是辨别命题真假的有力途径.................................7

4.3 反例能提高学生解题效率与解题能力.............................9

4.4 反例能巩固知识与加强对知识的运用.............................9

4.5 反例能培养学生的创新思维与逆向思维..........................10

结论............................................................12

参考文献........................................................13

致谢............................................................14

1 引言

在数学学习和研究的过程中,我们常常会遇到一些从正面得不到解决的问题,但是通过一些否定的例证却能很轻松的解决这些难题.美国著名数学家B.R.Gelbaum和J.M.H.Olmsted曾在其著作《分析中的反例》序言中指出“冒着过于简单化的风险,我们认为数学由两方面——证明和反例构成,而数学发现也向着两个主要的方向和目标——提出证明和构造反例”^[1],所以我们很容易的就能发现,同证明一般,反例在数学中也有着极其重要的作用.

在目前的中学数学的日常教学中,教师难免会遇到一些学生觉得棘手的问题,这些问题看似复杂难解,但是巧妙的运用一些数学中的解题方法,就会发现问题迎刃而解.其中的举反例就是教师掌握的一种秘宝,这种教学方法受到教师的普遍认可,它不但能强化学生对基础知识的掌握与巩固,同时还能增强学生学习数学的兴趣,更对学生的创造能力、逻辑能力、思维能力有着巨大帮助.

2 数学反例的定义

从教育心理学出发,在其概念观点中,反例属于否定例证的一种.具体来说,就是概念的否定例证是指不属于概念类别的其他所有例子,即不具有此概念的全部本质属性或只具有此概念的部分本质属性的例证^[2],在这个观点中,我们又因为概念本质属性所占比例不同所产生的分歧,对否定例证这个概念进行了两个不同的分类:其中第一类我们称之为一般否定例证,一般否定例证是不具有概念本质属性中多数的特征、明显的特征的否定例证.对于这样很抽象的例子,他们的表现形式是完全不同的,所以在学习中我们很容易就能加以区分.例如,在图1中,我们可以很容易的找出不是圆的情况,这正是因为圆的本质属性不同于其他图形.而反例却又是非常特别的一种,它占据了概念本质属性中几乎所有的特征,只是不具有其中一个或某些潜在的,又或者仅仅属于这个概念的属性.但归根结底,反例实际上也是否定例证的一种,但为了容易理解和叙述的缘故,我们把容易辨别的前者称为否定例证,而其中极为特殊的一个类别则称为反例.再举一个生活中的例子,在西瓜、白菜、苹果、香蕉、菠萝、水蜜桃这些东西中,找出不属于水果这一类的东西,我们也很容易就可以找到白菜,因为白菜属于蔬菜.白菜就是这个例子中的否定案例,由此可见,反例在生活中随处可见.

图1

在数学中,所谓反例,是指用来说明某个命题不成立的例子,即用来判断命题为假命题的实例^[3].数学中常常会遇到一些存在争议的问题,这些问题看似都是真命题,但其实他们往往存在一些特例,因此实际上他们都是假命题.例如对于命题“所有偶数都是合数”的判断,大多数情况下这个命题都是成立的,但我们可以找到“2是偶数但不是合数”这个反例,进而对这个命题进行了否定.我们在数学领域中所讨论的反例,是指建立在数学学科自身知识体系和逻辑基础上,具有一定意义和作用的反例.固然,用来证明一个命题是假命题的反例可能有许许多多个,但我们通常情况下仅仅需要找出满足条件的一个或者几个具有代表性的例子就可以了.

3 运用反例的目的

新课程改革对反例提出了新的要求,在《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》中提到：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”^[4],又如在《普通高中数学课程标准（实验）》中说到：“教学中应通过实例,引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论,并用演绎推理确认所得结论的正确性,或者用反例推翻错误的猜想”,同时在数学学习评价中也给出了具体要求：“关于评价对数学的理解和把握,可以从学生是否能独立地举出一定数量的用于说明问题的正例和反例这一角度进行考量”^[5].但在目前中学课堂的实际教学中,教师对于反例的运用还微乎其微,教师缺乏在数学课堂上使用反例的意识.很多教师在数学课堂教学中,大多数时候只会运用正面例子来讲解例题,给出题中所想要表明的概念与定义,却往往想不到运用一些反例来进行教学.反例教学模式远远没有得到普及,教师只有当学生出现错误时,才会想到使用一些反例来活跃课堂气氛,引起学生的思考,以此来加深他们对题目、对概念的理解.所以就目前阶段来说,对反例教学的应用刻不容缓.

4 反例在中学数学教学中的作用

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